过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)两条切线,切点分别为A、B,求证：切点弦AB所在的直线方程为 x0x+y0y=r2

Question

过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的
两条切线,切点分别为A、B,
求证：切点弦AB所在的直线方程为
x0x+y0y=r2

Answer 1

这个方程是 x0*x+y0*y=r^2 。

证明：设 A（a1，b1），则过 A 的切线方程为 a1*x+b1*y=r^2 ，
由于切线过 P ，因此 a1*x0+b1*y0=r^2 ，
同理，设 B（a2，b2），则过 B 的切线方程为 a2*x+b2*y=4^2 ，
由于切线过 P ，因此 a2*x0+b2*y0=r^2 ，
从以上两式可以看出，A、B 的坐标均满足一次方程 x0*x+y0*y=r^2 ，而它就表示直线，
因此它就是过 A、B 的直线方程 。

（这里用到一个结论：过圆 x^2+y^2=r^2 上一点（a，b）的切线方程为 ax+by=r^2 ）
方法2：
连接圆心O和P,则以OP为直径的圆的方程是x(x-xo)+y(y-yo)=0
即x^2+y^2-x*xo-y*yo=0
点A,B在此圆上,又A,B在圆x^2+y^2=r^2,所以AB的直线方程就是二个圆的方程相减所得:
即:xox+yoy=r^2
保准正确，采纳吧(*^__^*) 嘻嘻……

追问

结论：过圆 x^2+y^2=r^2 上一点（a，b）的切线方程为 ax+by=r^2，这是什么结论呢？(*^__^*)
连接圆心O和P,则以OP为直径的圆的方程是x(x-xo)+y(y-yo)=0，为什么呀？

追答

这个事书本上推倒的公式
连接圆心O和P,则以OP为直径的圆的方程是x(x-xo)+y(y-yo)=0，为什么呀？
目的是为了联立方程组，求出圆的方程
采纳吧

Answer 2

PA、PB是圆的切线，
∴P、A、O、B四点共圆，圆心是(x0/2,y0/2)，半径平方为：(x0²+y0²)/4
∴圆的方程是：(x-x0/2)²+(y-y0/2)²=(x0²+y0²)/4，即：x²+y²-x0x-y0y=0
弦AB的方程就是圆x²+y²=r²与圆x²+y²-x0x-y0y=0的公共弦，
∴方程是两个圆方程差，即：x0x+y0y=r²