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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x41
例1：求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2．分子分母同除求极限
x3x2
例2：求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4：求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5：求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。
1
，最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。 xxxxa
xx
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx； 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8：求极限lim
x0tan3x
例7：求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6．用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9：求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
思路：不知道在读高中还是大学，我简单说下极限思想吧！一个含有x 的多项式，当x 趋于无穷时，多项式的值只与多项式中x 次数最高项有关，与不同次数项的系数无关，比如说本题，当x 趋于（正负）无穷时，y 只与x^4有关，与(-6x^2)，（8x）,7都无关，因为x 趋于无穷时，他们的值相对于x ^6都是无穷小！即它们虽然可能很大，但是和x^6比起来就很小了，没有讨论的必要性了，而x ^6是趋于无穷的，故y 也趋于无穷。
再说一下，当x 趋于零时，情况相反，多项式的值只与x 次数最低项有关，本题中y 只与7有关，与(x^6)(-6x^2)，（8x）都无关，因为x 趋于无0时，他们的值相对于7都是无穷小！即它们系数虽然可能很大，但乘以一个无穷小的x 之后，就无穷小了，没有讨论的必要性了。呵呵，意会一下，可能说的乱了点。1，等价无穷小的代换：x趋近于0时，sinx~tanx~arcsinx~arctanx~x
ln(1+x)~e的x次方-1~x
1 -cosx~x²/2
a的x次方-1~xlna
(1+x的n次方)的a次方-1~ax的n次方
如x趋近于0时lim[(1+x²)的3次方-1]/(1 -cosx)=3x²/x²/2
=6
2，当分子分母同时趋近于无穷大或无穷小时，用洛必达法则，对分子分母分别求导
如x趋近于0时limsinax/sinbx=acosax/bcosbx=a/b
3，如果分子含根号，可以有理化
如x趋近于0时lim{[根号下（1+x²）]-1}/x=x/{[根号下（1+x²）]+1}=0/2=0
这是我做的一部分笔记，有不懂再告诉我吧
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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x41
例1：求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2．分子分母同除求极限
x3x2
例2：求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4：求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5：求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。
1
，最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。 xxxxa
xx
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx； 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8：求极限lim
x0tan3x
例7：求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6．用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9：求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
高数各种求极限方法
【解】\\(\\lim_{x \\to 0} \\sin x = 1\\)5. 用等价无穷小量代换法 求极限 \\(\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1 + x)}{x}\\)。【说明】常见等价无穷小有：当 \\(x \\to 0\\) 时, \\(x \\sim \\sin x \\sim \\tan x \\sim \\arcsin x \\sim \\arctan x \\sim \\ln(1 + x) \\sim...
高等数学中求极限的方法有哪些?
高等数学中求极限的方法有很多，以下是一些常见的方法：1.直接代入法：当函数在某一点处的极限存在时，可以直接将该点的值代入函数表达式中计算。2.夹逼定理：当一个函数在某一点处的极限无法直接计算时，可以通过找到两个函数，使得它们在这一点的极限都等于目标函数在该点的极限，并且这两个函数在这...
高数的极限怎么求?
高数没有八个重要极限公式，只有两个。1、第一个重要极限的公式：lim sinx \/ x = 1 (x->0)当x→0时，sin \/ x的极限等于1；特别注意的是x→∞时，1 \/ x是无穷小，无穷小的性质得到的极限是0。2、第二个重要极限的公式：lim (1+1\/x) ^x = e（x→∞）当x→∞时，（1+1\/x）＾...
高数极限的四种方法有哪些?
1.洛必达法则。洛必达法则是零比零型极限最常规的求法，但是洛必达法则有一定的局限性。有些式子即使符合零比零的形式，也无法用洛必达法则求出结果。2.泰勒展开。运用泰勒公式，麦克劳林级数求极限是万能的，缺点是式子繁琐，比较麻烦。3.等价无穷小代换，这是泰勒级数的一种衍生，比较简单，但是大...
高等数学求极限的方法有哪些?
高等数学求极限的方法有很多种，以下是一些常见的方法：1.直接代入法：当一个函数在某一点的极限可以直接计算出来时，我们可以直接将这一点的值代入函数中求解。2.夹逼定理：当一个函数在某一点附近的两个函数值都趋于同一个值时，我们可以利用这两个函数来夹住目标函数，从而求解极限。3.无穷小量代换...
高数中求极限的方法的概述
9、洛必达法则求极限 其中，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式。在做题时，如果是分子或分母的一个因子部分，如果在某一过程中，可以得出一个不为0的常数值时，我们常用数值直接代替，进行化简。另外，也可以用等价无穷小代换进行化简，化简之后再考虑用洛必达法则。
求高数极限的方法
1、利用定义求极限。2、利用柯西准则来求。3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。4、利用不等式即：夹逼原则。5、利用变量替换求极限。6、利用两个重要极限来求极限。7、利用单调有界必有极限来求。8、利用函数连续得性质求极限。9、用洛必达法则求，这是用得最多的。10、用泰勒公式来求，这用...
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结如下：1、利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。2、利用无穷小的性质求函数的极限 性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小 性质3：有限...
高数求极限的方法总结
方法总结:1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。2.利用无穷小的性质求函数的极限 性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小 性质3：有限个无穷小相加、相减...
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结大揭秘 一、利用函数的连续性求函数的极限 在求极限的过程中,如果函数在某点连续,那么可以直接将该点的函数值代入极限表达式中。这是因为连续函数在定义域内的任意一点都有定义,所以可以直接计算该点的函数值。 二、利用无穷小的性质求函数的极限 1. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小:这意味着...
