求由曲面z＝ x^2+y^2和z＝2- （x^2+y^2）^1/2所围立体的表面积

Answer 1

解，联立方程，得到：
S: x^2+y^2=2
那么他就是投影在xy平面内的半径为√2的圆
令Z1= x^2+y^2 ; Z2=2- （x^2+y^2）^1/2
那么：dz1/dx=2x ;dz1/dy=2y
dz2/dx=x/(x^2+y^2)^1/2 ; dz2/dy=y/(x^2+y^2)^1/2
∴dS1=√[1+(dz1/dx)²+(dz1/dy)²]dxdy=[√1+4x^2+4y^2]dxdy
dS2=√[1+(dz2/dx)²+(dz2/dy)²]dxdy=√2dxdy
故所求全表面积=∫∫<S>dS1+∫∫<S>dS2
=∫∫<S>[√(a²+4x²+4y²)/a]dxdy+∫∫<S>√2dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>[√1+4r^2]rdr+∫<0,2π>dθ∫<0,√2>√2rdr (应用极坐标变换) =2π∫<0,√2>[√1+4r^2]/2dr^2+2π ∫<0,√2>√2r^2/2
=2π∫<0,√2>1/12[1+4r^2]^3/2+4√2π
=13π/3+4√2π

Answer 2

曲面z＝ x^2+y^2和z＝2- （x^2+y^2）^1/2，---z=（2-z）^2-----z=1---所围立体的表面积=4πr^2=12.56，