数列证明：1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)+n/(2n+2)

Question

把不等号右边看成数列的和Sn=a1+a2+……+an。然后用逐项比较法，就是1/n>an。然后构造函数，我在构造函数上遇到困难，请老师指点。

Answer 1

推荐你一个解法：
构造函数法。
因为ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)，
（想一想为什么？是因为（n+1)=(n+1)/n*n/(n-1)*.......3/2*2/1然后两边取对数）
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],
于是我们构造函数：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增，又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0。
即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,
亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],
现将x用1/n（>0）替换整理可得：
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]，
并将此不等式n项累加得：
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}
=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]
=ln(n+1)+n/(2n+2),
于是原命题得证！

Answer 2

这个是针对高中水平童鞋的答案，大学童鞋的话，这就太简单了，自己动手就很简单了

记左边Fn,右边Gn，F1=1＞G1=ln2+1/4≈0.693+0.25 ①

Fn+1 -Fn=1/（n+1），Gn+1 -Gn=ln(1+1/(n+1))+0.5*[1/(n+1)-1/(n+2)]

令δ=(Fn+1 -Fn)-(Gn+1 -Gn)=0.5(1/(n+1)+1/(n+2))-ln(1+1/(n+1))

又令x=1/(n+1）则δ=0.5（x+x/(1+x)）-ln(1+x) 由于n≥1，0＜x≤0.5，2/3≤1/(1+x)＜1
对δ求导δ‘=0.5（1+1/(1+x)²）-1/(1+x)
=0.5[1-1/(1+x)]²＞0
所以Fn+1 -Fn＞Gn+1 -Gn对于任意n成立 ②

由①②可知Fn+1=F1+∑（Fk+1 -Fk）＞G1+∑（Gk+1 -Gk）=Gn+1
此即原不等式
证明完毕

Answer 3

你如果学过高数，右边部分可用泰勒公式来构造;你如果是高中生，证明这题为什么不用递推公式来做!?

追问

我是高中生。请问泰勒公式是怎么构造的？