用定义证明a开n次根的极限等于1,a大于0,小于1

Question

不用导数的代数方法

Answer 1

对于任意正数b（不妨设b<1），存在正整数N=[lna/ln(1-b)]+1，当n>N时，|a^(1/n)-1|=1-a^(1/n)<1-a^(1/N)<b（N就是解这个不等式得到的）。所以极限是1。

ln（lima＾1/n）

=lim（lna＾1/n）

=lim（1/n*lna）

=lim（lna/n） （n→∞）

=0

所以 lima＾1/n=1

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

你好

不知道什么定义，下面是我的证明方法，仅供参考

ln（lima＾1/n）
=lim（lna＾1/n）
=lim（1/n*lna）
=lim（lna/n） （n→∞）
=0
所以 lima＾1/n=1

【数学辅导团】为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢！

Answer 3

对于任意正数b（不妨设b<1），存在正整数N=[lna/ln(1-b)]+1，当n>N时，|a^(1/n)-1|=1-a^(1/n)<1-a^(1/N)<b（N就是解这个不等式得到的）。所以极限是1。

Answer 4