初三数学动点问题

Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点P以 3/4cm/s的速度运动，
①当PQ∥AB时，求t的值；
②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

Answer 1

第一问很简单，用的方法是相似三角形，须知PQ∥AB时，CPQ∽CAB，于是CP/CA=CQ/CB，把时间t当做未知数就能求解了，即（3-3t/4）/3=t/4，t=2
第二问，实质就是做PQ垂直平分线，交AB于点N，设PQ中点为M，于是求MN长度，也不是很难，不过可能我的方法有点复杂，首先算出QP=5/2，设MN交BC于点D，于是呢，DQM∽PCM，于是一样列方程，QC/QM=QD/QP，把QD求出来，于是BD就知道了，BD/DN=5/3，这里说一下，其实刚才的所有三角形都是相似的，就不一一论证了，然后DN知道了，DM也很好求，于是MN就知道了，这个计算有点复杂，这里就不算了，如果你算不出来再问我好了。
第三问的话，有点复杂了，首先理解一下，题中所说的圆与AB相切意思就是PQ中点M做MN⊥AB于点N，则MN=1/2PQ，这就是所求的方程，那么MN=1/2PQ意味着什么呢？意味着PQN是一个直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半定理，于是这题就有意思了，建议你建立一个坐标系，，以C点为原点，AC为y轴BC为x轴，然后呢，可以把MN所在直线用函数表示出来，于是，可以把M点坐标用t表示，于是PQN三边都可以用t表示啦，然后用勾股定理解方程就好了，这里说的过程是比较复杂的，如果我想到更简单一点的话，再告诉你吧，你不明白也可以随时问我。

Answer 2

、（1）由于PD=PE，所以∠PDE=∠PED=∠BEC
在三角形DOB中，有∠ODB=∠OBD；
PC⊥AB于C，有：∠OBD+∠BEC=90度；
所以：∠ODB+∠PDE=90度，所以，PD为切线，得证；
（2）连接OP，在直角三角形POC中，根据勾股定理有：、
0P^2=OC^2+PC^2
=X^2+(8√3)^2=192+X^2
在直角三角形DPO中，根据勾股定理有：
0P^2=OD^2+PD^2
=（4√3）^2+Y
所以：y=x^2+144;
当x=√3时，y=147,所以：PE=PD=
7√3,PC=8√3
所以：EC=PC-PD=√3，BC=OB-OC=4√3-√3=3√3
所以：tanB
=EC/BC=√3/3√3=1/3.