芝诺关于 追赶乌龟的悖论错在哪里?

Answer 1

  芝诺（Zeno，前490～前430），是古希腊著名的哲学家和数学家。他最早以非数学的语言，记录了陷于连续性和无限性争议的哲学困难，客观和辨证地考察了运动，被德国哲学家黑格尔（G。W。F。Hegel）称为“辩证法的创始人”。芝诺企图证明爱利亚学派（Eleatie School）的学说，即：“多”与“变”是虚假的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的，运动只是假象。
  于是他设计了四个例证，人称芝诺悖论（Zeno paradox）。这些悖论都是从哲学角度提出的，其中最著名的是：“阿基里斯（Achilles，古希腊神话中的善跑者）跑不过乌龟”，其问题可以用微积分概念解释，但无法用微积分解决。芝诺：乌龟如何打败了阿基里斯阿基里斯向乌龟挑战赛跑。
  号称跑步飞毛腿的运动员阿基里斯，知道对手乌龟的速度劣势，他让乌龟先跑100码，他以10倍于乌龟的速度加入比赛，应该足以保证他获胜。比赛开始，阿基里斯跑到乌龟的出发点——离他的出发点100码的地方时，乌龟已经爬行了10码。
  当他跑过这个10码时，乌龟又爬动了1码。当阿基里斯再跑过这个1码时，乌龟还是领先0。1码。。。。。。让阿基里斯惊奇的是，一直这样持续下去，乌龟始终在前面。虽然两者之间的距离在减小——0。1码、0。01码、0。001码。
  。。。。。但永远不会为0，因为任意长度的距离都可用10无限地除下去。所以，得到的奇怪结论就是：如果速度慢的竞跑者乌龟领先一定距离，那么更快的竞跑者阿基里斯就永远追不上乌龟。这个悖论也被称为阿基里斯悖论。芝诺悖论的症结在于无穷与有限这个阿基里斯追赶问题，在哲学上看上去似乎并无瑕疵。
  可是在数学上完全可以用无穷数列的求和，或者简单建立方程组就能计算追赶所花的时间，那么我们有什么理由说阿基里斯永远追不上乌龟呢？问题出在：假设阿基里斯最终追赶上了乌龟才能求出那个时间。但是芝诺悖论的实质在于要求证明如何能够追上，因为上面说到的无穷个重复循环的步骤是不可能在有限的时间内完成的。
  而数学的解决办法是从结果推往过程：悖论本身的逻辑没有错，它之所以与实际相差甚远，在于芝诺与我们采取了不同的时间系统。大家习惯于将运动看作时间的连续函数，而芝诺则采用了离散的时间系统。即无论将时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由无限的时间组成的。
  换言之，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。因此，阿基里斯悖论的症结是：无限长度之和是否有限，无限时间之和是否有限。数学：阿基里斯如何追上了乌龟芝诺悖论认为阿基里斯永远追不上乌龟的原因之一：为了追上乌龟，他不得不完成无穷多的步骤——跑过100码、10码、1码、0。
  1码。。。等等，还认为没有任何东西可以在有限的时间内完成无穷多的步骤。也就是，完成无穷多的步骤，意味着永远追不上乌龟。但是，在数学上这是可以完成的。因为没有结尾的数列之和是个常数。100+10+1/10+1/100+…=1000/9码其结果不是无穷大，而是一个有限值。
  1000/9码正是阿基里斯追上乌龟的那个点。阿基里斯可以在有限的时间内完成无穷多个步骤，其原因是每个相继的步骤所需的时间越来越小。在时间上，假设阿基里斯的速度是10码/秒，乌龟的速度是1码/秒。则在100/9秒，正是阿基里斯追上乌龟的那个时间。
  看上去100/9可以分割为无穷的时间间隔，有过不完的时间，但是实际上并非如此。物体的运动不在于许多离散的间隔，时间是光滑连续的，其数列之和是常数。10+1+1/10+1/100+…=100/9秒虽是无穷的时间，但其间隔越来越短，其无穷数列之和也是个有限值。
  
  结束语所谓芝诺的阿基里斯悖论是不存在的，只是人们“理所当然”的错觉。我们之所以会误入圈套，是因为洞悉世界伪像的能力还不够。与芝诺另外的二分悖论、飞矢悖论和赛车悖论一样，阿基里斯悖论的哲学观点虽然不对，但芝诺尖锐地提出了空间与时间是连续还是离散的问题，引起了哲学家和数学家的长期讨论，对数学和哲学的发展不能不说是巨大的贡献。