已知在ABC中,a,b,c为A,B,C对边,I为三角形内一点,a向量IA+b向量IB+c向量IC=0向量,求证点I为三角形ABC内心

Question

有毫毫的难,不难就不问大家了

Answer 1

三角形的几个心中，内心的确不好做，需要点小技巧：
用O代替I，其实：aOA+bOB+cOC=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0
是O为内心的充要条件，可以直接用的，但你要证明，算你厉害。
-----------------------------------------------------------------------------------------
aOA+bOB+cOC=aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=(a+b+c)OA+bAB+cAC=0
即：AO=bAB/(a+b+c)+cAC/(a+b+c)=(bc/(a+b+c))*(AB/c)+(bc/(a+b+c))*(AC/b)
=(bc/(a+b+c))*(AB/c+AC/b)，而：AB/c和AC/b分别是AB和AC的单位向量
即：|AB/c|=1，|AC/b|=1，故：向量AB/c+AC/b一定位于∠BAC的平分线上
而由关系：AO=(bc/(a+b+c))*(AB/c+AC/b)可知，AO与AB/c+AC/b共线
即：OA位于∠BAC的平分线上，同理可得：OB和OC分别位于∠ABC和∠ACB的平分线上
即：O点是内心。