初中数学题，高手进〜

Question

在三角形ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边PQ在BC边上,E、F两点分别在AB、AC边上，AD交EF与点H。（1）当EF为何值时，四边形EFPQ是正方形，（2）若设EF=x，当x为何值时矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
如图〜

Answer 1

(1)因为EFPQ是正方形，设EF=x，则FP=PQ=QE=x，又∠C=45°，所以CP=x，AD=CD=8,DB=BC-CD=10-8=2
因为CP+PQ+QB=BC=10即2x+QB=10同时QE∥AD，在直角三角形ADB中，QE：AD=QB：DB即x：8=QB：2
推出QB=x/4所以2x+x/4=10,即x=40/9所以EF=40/9
(2)设矩形EFPQ面积为S，又EF=x=PQ，则QE=S/x，又QE=FP=CP,CP+PQ+QB=10
所以S/x+x+QB=10
同（1）可知QE：AD=QB：DB即S/x:8=QB:2推出QB=S/4x
所以S/x+x+S/4x=10即5S=-4x²+40x=100-(4x²-40x+100)=100-4（x-5)²，因为4（x-5)²≥0，有且只有x=5时，
4（x-5)²=0，此时5S取最大值100，即S的最大值为100/5=20

Answer 2

（1）证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴AH/AD=EF/BC；
（2）解：设EF=x．
由（1）得AH/AD=EF/BC，
∵BC=10，AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=4/5 x，
∴EQ=HD=AD-AH=8-4/5x，
∵矩形EFPQ的面积为20，
∴x（8-4/5x）=20，
解得x1=x2=5．
故当矩形EFPQ的面积为20时，EF的值为5．

Answer 3

1.用相似比出EF的值就行了
2.还是用相似比出一个一元二次的方程。解方程就行了。

Answer 4

由平行得：EF：10=(8-EF)：8
EF=40/9

S=x(8-x)=16-(x-4)2
当x=2
S=12

Answer 5

1)△AEF∽△ABC EF=x
x/10=(8-x)/8 x=40/9
2)△AEF∽△ABC EF=x HD=y (AH=8-y) AH/AD=EF/BC (8-y) /8=x/10 y=8(1-x/10)
S矩形=EFxHD=x·8（1-x/10)=-4/5(x-5)²+20 EF=5 ，S矩形=20