泰勒公式求极限 倒数第二步下面(1/x)*ln(1-x) x趋于0的极限不是-1么。。。他怎么算成e^-1 ？？

Question

倒数第二步下面(1/x)*ln(1-x) x趋于0的极限不是-1么。。。他怎么算成e^-1 ？？ 还有怎么确定泰勒公式要展开成几次？？ln(1-x)为什么不展开？？

Answer 1

是-1，这解答错了，很明显lim(x->0)(1-x)^(1/x)=e^(-1)，而lim(x->0)ln(1-x)^(1/x)=lne^(-1)=-1，
用罗比达法则，lim(x->0)ln(1-x)^(1/x)=lim(x->0)ln(1-x)/x=lim(x->0)1/(1-x)*(-1)=-1/(1-0)=-1
所以这题展开到四次还不够，因为它将分母弄错了。
具体要展开到哪里，在你不确定的情况下，你可以先多使用几次罗比达法则，在罗比达法则使用起来比较麻烦的时候，再用泰勒公式，一般这时都能明确展开到几阶。
对于这题，分母先用泰勒公式展开：
ln(1-x)=-x-1/2(-x)^2+1/3(-x)^3-1/4(-x)^4+o(x^4)，
x²ln(1-x)=-x³-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6)，
x³+x²ln(1-x)=-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6)，
再看分子，其实分母展开到x^2就够了，因为分子中x^4项的系数已经不为0了
cosx-e^(-x²/2)=[1-1/2!x²+1/4!x^4+o(x^4)]-[1-x²/2+1/2!(-x²/2)^2+o(x^4)]=-1/12x^4+o(x^4)
所以原极限=lim(x->0)[-1/12x^4+o(x^4)]/[-1/2x^4-1/3x^5-1/4x^6+o(x^6)]=1/6.

追问

那这题最后等于多少呢？？倒数第二步开始用洛必达么？？但是貌似那样会越做越烦，因为求完倒数总有ln（1-x）啊。。

追答

求解过程我给了，你看下吧。我毕业n年了，好多也忘了，好的心得也没什么了