微分方程xy''+(x+1)y'+y=1 y(1)=0 y'(1)=1 求y 在线等

Answer 1

令y'=u,
则原微分方程变为(1+x²)u'+u²+1=0即du/(u^2+1)=dx/-(x^2+1)
得d(arctanu)=-d(arctanx)
d(arctanu+arctanx)=0,
即arctanu+arctanx=c1(常数)
所以u=arctan(c1-arctanx)=(tanc1-x1)/(1+tanc1x1)=(c2-x1)/(1+c2x1)(c2为常数)
所以dy/dx=(c2-x1)/(1+c2x1)
即可以推出y=ln|1+c2*x|-1/c2*x+1/c2^2*ln|1+c2*x|+c3(c2、c3为常数，可以用任何符号代替)
我也不能保证中间没算错，自己检查一下吧

Answer 2

y=e^(-x)是方程xy''+(x+1)y'+y=0的解
设y=ue^(-x)，y‘=u’e^(-x)-ue^(-x)，y‘‘=u’’e^(-x)-2u‘e^(-x)+ue^(-x)，代入：
x[u’’e^(-x)-2u‘e^(-x)+ue^(-x)]+(x+1)[u’e^(-x)-ue^(-x)]+ue^(-x)=0
x[u’’-2u‘+u]+(x+1)[u’-u]+u=0
xu’’+(1-x)u’=0
du'=(x-1)/x dx
u’=x-lnx+C1
u=x^2/2-xlnx+x+C1x+C2
方程xy''+(x+1)y'+y=0的通解y=e^(-x)[x^2/2-xlnx+x+C1x+C2 ]
1是特解：
方程xy''+(x+1)y'+y=1的通解y=e^(-x)[x^2/2-xlnx+x+C1x+C2 ]+1
y(1)=0 y'(1)=1 求出C1C2

Answer 3

y(x) = 1-e^(1-x)