高数三重积分的问题

Question

我觉得球面坐标简单点，但是不知道怎么确定r的范围？

Answer 1

根据球坐标的坐标变换公式z=rcosφ，过原点做一射线，可知该射线由r=0穿人Ω，再由z=1即rcosφ=1穿出，故r积分限为0到1/cosφ

Answer 2

用球坐标
积分项变为ρ^3
然后画个图可见z的范围是
根号(x^2+y^2)<=z<=1
代入球坐标
0<=ρsinΦ<=ρcosΦ<=1
所以
0<=Φ<=π/4

0<=ρ<=1/cosΦ
0<=θ<=2π
所以原积分
=∫<0,π/4>∫<0,2π>∫<0,1/cosΦ> ρ^3*ρ^2 dρ dθ sinΦdΦ
=2π∫<0,π/4>∫<0,1/cosΦ> ρ^3*ρ^2 dρ sinΦdΦ
=(2π/6)∫<0,π/4>sinΦ/(cosΦ)^6 dΦ
令t=cosΦ
=(π/3)∫<1,根号2/2> -dt/t^6
=(π/15)t^(-5)|<1,根号2/2>
=(π/15)(2^(5/2)-1)

Answer 3

Omega是一个锥体，待求问题表示的是该锥体体积的3/4/Pi倍。易知Omega是一个底面半径为r=1，侧楞长也为1的圆锥，故其高为h=sqrt{3}/2，体积为
Pi/3*r^2*h=Pi/sqrt{3}/2.
故答案为1/sqrt{3}/2*3/4=sqrt{3}/8.