抽象代数高手入内，求指教。高分求教

Question

使F ≤K 是域， [K: F] = r< ∞，假设F是有限的， |F|=n，
证明：1） |K|=n^r
2）每一个K中的非零元素都是属于F[X]的多项式x^(n^r-1)-1的根
3. 让a属于K-(0), 假设F[a]≠K，证明有r的因数m，使得a是多项式x^(n^m-1)-1的根

Answer 1

1) 取K的一组F-基v1, v2,..., vr, 则K中元素可唯一表示为k1·v1+k2·v2+...+kr·vr.
其中k1, k2,..., kr∈F. 由|F| = n, k1, k2,..., kr各有n种取法, 因此共有n^r种取法.
故|K| = n^r.

2) K-{0}关于乘法构成群, 由|K| = n^r, 有|K-{0}| = n^r-1.
群论中有结论: 若G是m阶群, g∈G, 则g^m = e.
于是对任意a∈K-{0}, a^(n^r-1) = 1, 即a是x^(n^r-1)-1的根.

3) 由F[a] ≠ K, 可设[F[a]:F] = m, 则有m整除r且m < r.
对F[a]使用2)问结论, 即知a是x^(n^m-1)-1的根.

4) r的小于r的约数最大为r/2, 因此3)问中的m至多有r/2个, 且最大为r/2.
F的m次扩域中有n^m-1个非零元素, 因此3)问中的a至多有(r/2)·(n^(r/2)-1)个.
取t = r/2, 由不等式t·(n^t-1) < n^(2t)-1 = n^r-1 = |K-{0}|,
可知K-{0}中必有不满足3)问条件的元素b, 即有F[b] = K.
因此K/F是单扩张.

补充证明t·(n^t-1) < n^(2t)-1, 对t ≥ 1与整数n ≥ 2.
由n^(2t)-1 = (n^t-1)(n^t+1), 只要证t < n^t+1.
设f(t) = n^t+1-t, 则f(1) > 0, 且f'(t) = ln(n)·n^t-1 ≥ 0对任意t ≥ 1.
f(t)单调增, 故f(t) ≥ f(1) > 0, 即有t < n^t+1.