高等数学线性代数问题

Question

设A为4×5矩阵，r（A）=4，B为4×2矩阵，设A的转置矩阵为C，B的转置矩阵为D，则下列命题不正确的是（ ）
A.Mx=0只有零解
B.Nx=0必有无穷多解
C.对于所有的b，Mx=b右唯一解
D.对于所有的b，Nx=0必有无穷多解

选项中的矩阵M和矩阵N分别是：
矩阵M的上半部分是C，下半部分是D
矩阵N的左半部分是A，右半部分是B

请对每个选项做出详解，万分感谢！！答案解释说M和N的秩都是4，为什么啊？

Answer 1

(A) 正确. r(A^T) = r(A)=4
所以 A^T (5*4) 列满秩
所以 M 列满秩
所以 MX=0 只有零解

(B) 正确. N 是 4*7矩阵, 故 NX=0 有非零解 (未知量个数大于方程个数)

(C) 错误. Mx=b 可能无解

(D) 正确, r(N)=4, N行满秩, Nx=b 必有解.
又因为 N 是 4*7, r(N)=r(N,b)<7, 故有无穷多解.

选(C)

追问

谢谢老师这么详细的回答
我想问一下
为什么列满秩只有零解，而行满秩必有解呢？
B的话，未知数个数大于方程个数的话是不是就是说一定有无穷多解呢？会不会无解呢？
C为什么可能无解呢？

对这块知识，我是个大盲点，求老师详解，万分感谢！！！

追答

你要区分开齐次线性方程组与非齐次线性方程组,分别考虑其相关结论
(B) 齐次线性方程组总是有解, 只是看它是否有非零解
齐次线性方程组只有零解 r(A) = n (即A列满秩)
(B)中显然系数矩阵的秩 r(A)=r(A,b), 不满足这个条件的话,无从谈唯一解还是无穷多解
(C)就不一定满足这个条件

(D) 不一样
系数矩阵行满秩时, 再添加一列仍行满秩, 即秩不变, 所以解存在. 进而可考虑解的唯一性

追问

老师，请问一下为什么M和N的秩都是4呢？这么看的呢？求详解，万分感谢！！！

追答

r(M)=4, 见(A)中说明
N有4行, r(N)=r(A)=4
所以 r(N)=4