请证明点0是三角形内心公式的证明

Answer 1

O为三角形内任一点
且满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC=向量0
所以：O为三角形的内心
证明如下：
记∠BAC的平分线与BC交于P
则向量BP=（c/（b+c）×向量BC
=（c/（b+c）×（向量OC-向量OB)
向量AP=向量AB+向量BP=向量OB-向量OA=向量BP]
=向量OB-向量OA+（c/（b+c）（向量OC-向量OB)
=（b/（b+c））向量OB+（c/（b+c））向量OC-向量OA
=（b向量OB+c向量OC）/（b+c）-向量OA]
=-（a+b+c）向量OA/（b+c）
∴AP与OA共线
O在AP上
同理，O在∠ABC，∠ACB平分线上
∴O为内心

追问

我不明白BP为什么等于c/(b+c)x向量bc

追答

由角分线定理有AD/BD=AC/BC      CF/AF=BC/AB      BE/CE=AB/AC

所以原来的题中

BP/BC=BP/(BP+PC)=c/(c+b)

所以有向量BP=（c/（b+c）×向量BC

Answer 2

是什么公式啊？

追问

ax向量oA+bx向量oB+cx向量oC=0

追答

证明如下：
设∠BAC的平分线与BC交于P
则向量BP=c/（b+c）*向量BC=c/（b+c）*（向量OC-向量OB)
向量AP=向量AB+向量BP=向量OB-向量OA=向量BP
=向量OB-向量OA+c/（b+c）*（向量OC-向量OB)
=b/（b+c）*向量OB+c/（b+c）*向量OC-向量OA
=（b*向量OB+c*向量OC）/（b+c）-向量OA
=-（a+b+c）向量OA/（b+c）
∴AP与OA共线
O在AP上
同理，O在∠ABC，∠ACB平分线上
∴O为内心

追问

为什么bp=b/(b+c)bc呢

追答

换种简单的证法吧：可得aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0,变形得(a+b+c)AO=bAB+cAC
AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)=[bc/(a+b+c)][AB/|AB|+AC/|AC|],从而可知向量AO过了角A的平分线，
同理可证BO和CO也是角平分线。

追问

告诉我上一个吧，我想明白。

追答

你们应该学过角分线定理吧？
CP/BP=AB/AC=c/b
所以BC=BP+PC=c/bBP+BP=(b+c)/bBP
得出bp=b/(b+c)bc