高分求助一道数学复数题，要完整步骤，越详细越好，答的好追加 注：自主招生培训课上的一道练习题，稍难

Question

例、已知复数z0=1-mi（m>0，m属于R）,z=x+yi 和w=x/+y/i，其中x，y，x/，y/均为实数，i为虚数单位，且对任意复数z，有w=z0的共轭乘以z的共轭，|w|=2|z|。
第一问：若z所对应点（x,y）在圆x2+y2-4x=0上，求w所对应点轨迹
第二问：是否存在这样的直线l, z对应点和w对应点均在直线l上？若存在，求出所有直线；若不存在，说明理由

Answer 1

（1）ω=x'+y'i，ω=(1+mi)(x-yi)=x+my+(mx-y)i
|ω|=√[(x+my)²+(mx-y)²]=√[(m²+1)(x²+y²)]
因为|ω|=2|z|，所以√[(m²+1)(x²+y²)]=2√(x²+y²)，整理得m²=3，所以m=√3.

ω=x+√3y+(√3x-y)i 所以x+√3y=x'，√3x-y=y'

解得x=(x'+√3y')/4，y=(√3x'-y‘)/4.
代入x²+y²-4x=0得(x')²+(y')²-4(x'+√3y')=0，即x²+y²-4(x+√3y)=0.

（2）z=x+yi，ω=x+√3y+(√3x-y)i

z对应的点为(x,y)，ω对应的点为(x+√3y，3x-y)

第二问是不是打错了？两点一定共线的啊.

追问

看了一下，没打错，在想一下，拜托了，自主招生题，有难度的

追答

z对应的点为(x,y)，ω对应的点为(x+√3y,√3x-y)
设p=x，q=y
则z与ω两点连线的斜率为(√3p-2q)/(√3q)
直线方程为y=(√3p-2q)/(√3q)(x-p)+q.

没看出有什么特别的地方，第二问中的复数确定是z不是z0?

追问

追答

z对应的点为(x,y)，ω对应的点为(x+√3y,√3x-y)

假设存在这样的直线y=kx+m，则有

kx-y+m=0，
k(x+√3y)-(√3x-y)+m=0

相减得√3ky-√3x+2y=0，(√3k+2)y-√3x=0.

当x,y变化时，k的取值不是定值，所以这样的直线L不存在.