已知函数f（x）在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数 且f（x）在(-∞,0)上是减函数 并且f（x）<0

Question

指出F（x）=1/f（x）在(-∞,0)上的增减性，并证明。 我要详细的证明过程和思路

Answer 1

F（x）=1/f（x）在(-∞,0)是增函数
证明:
(-∞,0)取x2<x1<0
则有f(x1)<f(x2)<0
f(x1)*f(x2)>0
F(x1)-F(x2)=1/f(x1)-1/f(x2)
=[f(x2)-f(x1)]/f(x1)*f(x2)
>0
故F（x）=1/f（x）在(-∞,0)是增函数

Answer 2

分析：函数f（x）在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数
且f（x）在(-∞,0)上是减函数 并且f（x）<0
即x越大f(x)越小且小于零。
即F（x）随着x增大而减小

解：当x1＜x2＜0时
0＞f（x1)＞f（x2）
即F（x1）-F（x2)=1/f（x1)-1/f（x2）＞0
F（x）=1/f（x）在(-∞,0)是减函数

Answer 3

F‘（x）=-f’(x)/f²（x）
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f‘（x）＜0，-f’（x）＞0，f²（x）恒大于0
所以F‘（x）在（-∞，0）恒大于0，所以递增