n阶行列式计算

Question

X 1 1
1 x 1
…… .
1 1 x

计算n阶行列式

Answer 1

全加到第一列，得
x+n-1 1 1.........1
x+n-1 x 1 ...... 1
x+n-1 1 x...........1
...............................
x+n-1 1 1..........x
第2行开始，分别减去第一行，得
x+n-1 1 1.........1
0 x -1 0 ...... 0
0 0 x-1..........0
...............................
0 0 0.......... x-1
所以
原式=(x+n-1)·(x-1)的n-1次方

Answer 2

第2行至第n行加到第一行得
|x+(n-1) x+(n-1) x+(n-1)|
|1 x 1 |
.......................................
|1 1 x |
把x+(n-1)提出来得
| 1 1 1 |
| 1 x 1 | .{x+(n-1)}
..................
| 1 1 x|
第一行乘-1加到后每一行
结果是{x+(n-1)}.（x-1）^(n-1)

Answer 3

将下面的N-1行加到第一行，提出公共元素X+n-1，则第一行元素全部为1，然后用下面的n-1行分别减去第一行。便得到一个上三角行列式，上三角行列式的值等于对角线元素乘积，即X^(n-1),最后计算得到行列式等于(x+n-1)* x^(n-1)

Answer 4

Answer 5

有两种方法。
一、把行列式Dn按照第一行展开=2Dn-1-Dn-2
所以Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=...=D2-D1=1
又因为D1=2
即可得Dn通项公式Dn=n+1
二、把第一行的（-1/2）倍加到第二行上，然后把第二行的（-2/3倍）加到第三行上……最后把倒数第二行的(-(n-1)/n)倍加到最后一行。
这样Dn就变为一个上三角行列式，
Dn=2*(3/2)*(4/3)......*((n+1)/n)=n+1
这个其实是线性代数很常见的一道题。码字太累。。望采纳