已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1

Question

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若m,n属于【-1，1】，m+n不等于0时，有{f(m)+f(n)}/m+n>01.解不等式f(x+1/2)<f(1-x)2.若f(x)小于等于t^2-2at+1对所有a属于【-1，1】，x属于【-1，1】恒成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（1）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
设-1≤x1＜x2≤1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）≠0，由题设有f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)＞0，
∵x2+（-x1）=x2-x1＞0，∴f（x2）+f（-x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f （x） 在[-1，1]上是增函数．（4分）
（2）不等式f(x+12)＜f(1x-1)�6�2-1≤x+12≤1-1≤1x-1≤1x+12＜1x-1�6�2-32≤x≤12x≥2 或 x≤0x＜-1 或 1＜x＜32，
解得-32≤x＜-1．（8分）
（3）由（1）知f（x）max=f（1）=1，∴f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即 m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立
设g（p）=m2-2mp，则g(-1)≥0g(1)≥0，m2+2m≥0m2-2m≥0．
解得 m≤-2或m≥2或m=0，
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．（12分）