已知二次函数f(x)的顶点坐标是(1,2),且f(0)=1 很急! （1）求f(x)的解析式

Question

（2）如果函数y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围。

求过程

Answer 1

解：
（1）设该二次函数解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
化简为顶点式为y=a（x+b/2a）²+c-b²/4（a≠0），即顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），
根据题意可得：
-b/2a=1……①
c-b²/4a=2……②
1=0+0+c……③
结合①②③ 式解得a=-1，b=2，c=1；
则此二次函数为f（x）=-x²+2x+1

（2）要使得此二次函数图像恒在一次函数y=-x+m图像的下方，
则两图像只能至多有一个切点（包含没有交点的情况）。
当两图像相切时，二次函数的导函数f '(x)=-2x+2=-1（此为直线y=-x+m的斜率-1）
则切点横坐标为3/2，代入二次函数得出切点纵坐标为7/4，即切点坐标为（3/2,7/4）
将切点坐标代入直线关系式可知：m=13/4；
当两图像相离（没有交点）时，m＞13/4；
综上所述，若二次函数图像恒在直线y=-x+m图像的下方，
则实数m的取值范围是m≥13/4.

Answer 2

(1)设y=a(x-1)^2+2
代入f(0)=1得a=-1
则y=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1
(2)
-x^2+2x+1<-x+m对任意x都成立即

m>-x^2+3x+1又-x^2+3x+1的最大值在顶点处取得即为13/4
即m>13/4

Answer 3

（1）.
∵f(x)的顶点坐标是(1,2)，设f（x）=a（x-1）²+2
将f（0）=1代入，可得1=a+2，∴a=-1
∴f（x）=-（x-1）²+2，即f（x）=-x²+2x+1
（2）.
联立方程组y=-x²+2x+1……①和y=-x+m……②
将②代入①，可得-x+m=-x²+2x+1，整理得：x²-3x+m-1=0
∵y=f(x)图象恒在y=-x+m的图象下方，∴y=f(x)图象与y=-x+m无公共点
∴Δ＜0
即9-4（m-1）＜0，解得m＞13/4