如何判断一个函数是否存在极限，是否连续，是否可导，是否可微？

Question

补充：四者之间有没有什么联系？最好举例说明！谢谢

Answer 1

函数只要其图像有一段连续就可导，可微应该是全图像连续才可以，连续就需要看定义域（如果在高中的话定义域连续函数一般都连续），极限要求连续，它要看函数的值域，函数的值域必须有一端是有意义的，即不能是无穷，且在这端定义域应该是无穷，这样在这端函数才有极限。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

扩展资料：

一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

若ƒ在X0点可微，则ƒ在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

如果一个函数的所有偏导数在某点的邻域内存在且连续，那么该函数在该点可微，而且是classC。(这是可微的一个充分不必要条件)形式上，一个多元实值函数f:R→R在点x0处可微。

参考资料来源：百度百科——函数极限

Answer 2

极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A（N）-A|都小于E，则数列的极限为A。极限不是相等，而是无限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内（不包含X0这一点），如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有（X0-Q，X0+Q）内的点，都满足|F（X）-A|《E，则F（X）在X0点的极限为A。很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。
　　例如F（X）=（X^2-3X+2）/(X-2), X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F（X）=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F（X）无限接近1，因此F（X）在2处的极限为1。
　　连续的概念。如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F（X）在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。
　　在上例中，F（X）在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续；
　　如果我们定义F（2）=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的；
　　如果我们定义F（2）=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。
　　由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
　　如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续（对闭区间而言），则称函数在这个区间上连续。
　　导数的概念。导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。
　　导数的求法也是一个极限的求法。对于X=X0，在X0附近另找一点X1，求X0与X1连线的斜率。当X1无限靠近X0，但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F（X）在X=X0处的导数。关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。
　　导数同样分为左导数和右导数。导数存在的条件是：F（X）在X=X0连续，左右导数存在且相等。这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
　　如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在（对闭区间而言），则称函数在这个区间上可导。
　　复合函数的导数，例如f[u（x）]，是集合A中的自变量x，产生微小变化dx，引起集合B中对应数u的微小变化du，u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函数的导函数f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du * du/dx=f’（u）*u‘（x）
　　导数在生活中的例子最常见的是距离与时间的关系。物体在极其微小的时间内，移动了极其微小的距离，二者的比值就是物体在这一刻的速度。对于自由落体运动，下落距离S=1/2gt^2，则物体在时间t0的速度为V(t0)=[S（t0+a）-S(t0)]/a, 当a趋近于0时的值，等于gt0; 而速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度。加速度是距离对时间的二阶导数。
　　从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等。有笑话说一位教授对学生抱怨道：“这饭馆让人怎么吃饭？你看这碗口，处处不可导！”
　　积分的概念。从面积上理解，积分就是积少成多，把无限个面积趋近于0的线条，累积在一起，就成为大于0的面积。我们可以把一块图形分割为狭长的长方形（长方形的高度都取函数在左端或右端的函数值），分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地得出图形的面积。当我们把长方形的宽度设定得越来越窄，计算结果就越来越精确，与图形实际面积的差距越来越小。如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于0时，求出的长方形面积总和的极限存在，且等于图形的实际面积。这里又是一个极限的概念。
　　如果函数存在不连续的点，但在该点左右极限都存在，函数仍是可积的。只要间断点的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0，不影响计算结果。
　　在广义积分中，允许函数在无限区间内积分，或某些点的函数值趋向无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的。
　　严格地说，我们只会计算长方形的面积。从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把求面积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S（N），在N趋近于无穷大时的极限。很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的。当我们深刻地理解了积分的定义和熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题。
　　例如：求LIM Nａ正无穷大时，1/N*[1+1/（1+1/N）+1/（1+2/N）+。。。+1/(1+（N-1）/N)+1/2]的值。
　　看似无从下手，可当我们把它转化为一连串的小长方形的面积之后，不禁会恍然大悟：这不是F（X）=1/X在[1，2]上的积分吗？从而轻松得出结果为ln2。
　　除了基本的积分公式外，换元法和分步法是常用的积分方法。换元积分法的实质是把原函数化为形式简单的复合函数；分步积分法的要领是：在∫udv=uv-∫vdu中，函数u微分后应该变简单（比如次数降低），而函数v积分后不会变得更复杂。

Answer 3

可导必连续，连续极限必存在，反之不真。

Answer 4

A（N）-A|都小于E，则数)^(1/x)=e。
　　导数同样引起集合B中对应数u的微小变化du，u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函数的导函数f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du * 可用它来解决相当次数降低），而函数v分后不会变得更复杂。

Answer 5

有一点我敢肯定，那就是可微一定可导