函数f(x)连续，则导数也一定连续吗？

Answer 1

原函数可导，导函数不一定连续。

举例说明如下：

当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);

当x=0时，f(x)=0

这个函数在(-∞,+∞)处处可导。

导数是f'(x):

当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续。

扩展资料：

函数连续：

1、所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

2、绝对值函数也是连续的。

3、定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

4、非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

5、另一个不连续函数的例子为符号函数。