有关三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的知识总结

Question

包括与向量、球等有关的内容，越详细越好

Answer 1

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.

圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)

圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2

三、垂心

三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角
三角形的垂心在三角形外。
四、内心
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.

张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

五、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.

例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.

三角形有三个旁切圆，三个旁心.

重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理 三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理 三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。 　　注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1，a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。 　　（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。 　　在C++中，也有向量。1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。 　　2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。） 　　3、坐标表示： 　　1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 　　2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z），使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, k）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y, k）,也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 　　3) 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到,此略. 向量的模和向量的数量　　向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 　　注： 　　1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。 　　2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。 编辑本段各种向量单位向量 　　长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。 零向量 　　长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 相等向量 　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b． 　　规定：所有的零向量都相等． 　　当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。 自由向量 　　始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。 　　在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。 　　数学中只研究自由向量。 滑动向量 　　沿着直线作用的向量称为滑动向量。 固定向量 　　作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。 位置向量 　　对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。 方向向量 　　直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量 相反向量 　　与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有 -（-a）=a； 　　零向量的相反向量仍是零向量。 平行向量 　　方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b． 　　零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行． 　　平行于同一直线的一组向量是共线向量。若a=(x,y)b=(m，n)。 　　a//b=>a·b=xn-ym=0 共面向量 　　平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。 　　空间中的向量有且只有以下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。 　　只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。 法向量 　　直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。 编辑本段向量的运算 　　设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 　　AB+BC=AC。 　　a+b=(x+x'，y+y')。 　　a+0=0+a=a。 　　向量加法的运算律： 　　交换律：a+b=b+a； 　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” 　　a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 　　当λ＞0时，λa与a同方向； 　　当λ＜0时，λa与a反方向； 　　当λ=0时，λa=0，方向任意。 　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 　　数与向量的乘法满足下面的运算律 　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的数量积 　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。 　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 　　向量的数量积的运算律 　　a·b=b·a（交换律）； 　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)； 　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 　　向量的数量积的性质 　　a·a=|a|的平方。 　　a⊥b 〈=〉a·b=0。 　　|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 　　向量的数量积与实数运算的主要不同点 　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。 　　3、|a·b|≠|a|·|b| 　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积 　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=|a||b|。 　　向量的向量积性质： 　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 　　a×a=0。 　　a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。 　　向量的向量积运算律 　　a×b=-b×a； 　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； 　　a×（b+c）=a×b+a×c. 　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 6、三向量的混合积 　　定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 　　混合积具有下列性质： 　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1） 　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 　　4、(a×b)·c=a·(b×c) 7、三向量的二重向量积 　　由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程： 向量的三角形不等式　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； 　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； 　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 编辑本段定比分点 　　定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2） 　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 　　OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） 　　x=(x1+λx2)/(1+λ), 　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 　　三点共线定理 　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 　　三角形重心判断式 　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 编辑本段其他向量共线的条件 　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 　　若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。 　　零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 　　a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 　　零向量0垂直于任何向量. 　　平面向量的分解定理 　　</B>平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使 a=λ1e1+λ2e2 我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基．