已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1且a（n+1）=2Sn+1，n∈N. ⑴ 求数列｛an｝

Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1=1且a（n+1）=2Sn+1，n∈N.
⑴ 求数列｛an｝的通项公式。
⑵等差｛bn｝的各项均为正数，其前n项和为Tn，T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn.

Answer 1

1.
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2Sn +1
S(n+1)=3Sn +1
S(n+1) +1/2=3Sn +3/2=3(Sn +1/2)
[S(n+1) +1/2]/(Sn +1/2)=3，为定值。
S1+ 1/2=a1+1/2=1+1/2=3/2，数列{Sn +1/2}是以3/2为首项，3为公比的等比数列。
Sn +1/2=(3/2)3^(n-1)=3ⁿ/2
Sn=(3ⁿ-1)/2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(3ⁿ-1)/2 -[3^(n-1) -1]/2=3^(n-1)
n=1时，a1=3^0=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)
2.
a1=1 a2=3 a3=3^2=9
设{bn}公差为d，数列各项均为正，d≥0
T3=b1+b2+b3=3b2=15 b2=5
a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比
(a2+b2)^2=(a1+b1)(a3+b3)
b1=b2-d b3=b2+d b2=5 a1=1 a2=3 a3=9代入，整理，得
d^2+8d-20=0
(d+10)(d-2)=0
d=-10(舍去)或d=2
b1=b2-d=5-2=3
Tn=nb1+n(n-1)d/2
=3n+2n(n-1)/2
=n^2 +2n

^2表示平方。