函数f(x)=-x^2+| x| 的递减区间

Answer 1

解题思路：
针对含有绝对值符号的函数，通常是先去掉绝对值符号，去绝对值符号通常是根据x的取值的不同，考虑函数的解析式形式。也可以采用这平方的形式去掉绝对值符号，但是，在这道题目中平方不适宜。

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解：
i) 当x>0时，
∵ f(x)=-x²+| x|
∴ f(x)=-x²+x，则对称轴为：x=1/2，其函数为抛物线(开口向下)
∴ 根据函数图像，可知道，此时函数的定义域为 x≥0，则函数的单调性为：
0<x<1/2， 函数f(x)=-x²+x为递增，即：函数 f(x)=-x²+| x|为递增函数；
x≥1/2， 函数f(x)=-x²+x为递增，即：函数f(x)=-x²+| x|为递减函数；

ii) 当x≤0时，
∵ f(x)=-x²+| x|
∴ f(x)=-x²-x，则对称轴为：x=-1/2，其函数为抛物线(开口向下)
∴ 根据函数图像，可知道，此时函数的定义域为 x<0，则函数的单调性为：
x<-1/2， 函数f(x)=-x²-x为递增，即：函数f(x)=-x²+|x|为递增函数；
-1/2≤x≤0， 函数f(x)=-x²-x为递增，即：函数f(x)=-x²+|x|为递减函数；

综上所述，函数f(x)=-x²+|x|的递减区间为：-1/2≤x≤0，x≥1/2