怎么理解二项分布的极限是正态分布

Answer 1

新年好！若X服从二项分布B(n,p)，它表示n次试验中事件A发生的次数，则X=X1+X2+...+Xn，其中Xi表示第i次试验中A发生的次数，它们相互独立且都服从0-1分布，根据中心极限定理，X的极限是正态分布。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 2

楼上貌似把两个概念搞混了，首先我们有两个定理，泊松定理和中心极限定理。

泊松定理说的是，对于二项分布，当λ=np为定值，且n→∞时。n次伯努利实验中事件发生k次的概率服从参数为λ与k的泊松分布。

可是这个定理中，既然n是无穷大，还要求λ是定值，那么p就一定是无穷小，显然这不符合实际情况，因为概率无穷小的事件就是不可能事件了。所以这个定理更多的是用在n不是无穷大时的近似计算。

实际生活中，即便某件事发生概率p很小，假设是0.00000001，但当你重复了n=∞次之后，依然会有np=λ=∞。所以此时需要用到的是中心极限定理（德莫佛-拉普拉斯定理），说的是无穷次伯努利实验标准化之后服从标准正态分布。也就是说二项分布的极限是正态分布。（证明方法可利用另一个中心极限定理：无穷多个独立同分布的随机变量（可服从任意分布）之和，在标准化后服从标准正态分布）。

通过这样的联系我们还可以知道，泊松分布中当λ→∞时，对其进行标准化后，也会服从标准正态分布。

Answer 3

题目问错了，二项分布的极限是泊松分布。泊松分布的λ=np，当二项分布的n很大，p很小，而np的极限趋向于一个恒定的值λ时，二项分布近似于泊松分布。公式的证明用到了1加上无穷小的无穷大的极限为e。