线性代数题，高等数学，在线急等！

Question

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Answer 1

8.解: |A-λE| =
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ

r1-r2
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 3
3 3 6-λ

c2+c1
-1-λ 0 0
2 3-λ 3
3 6 6-λ
= (-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]
= (-1-λ)[λ^2-9λ]
= λ(9-λ)(1+λ)

所以A的特征值为 0, 9, -1

AX = 0 的基础解系为: a1 = (1,1,-1)'
所以,A的属于特征值0的全部特征向量为: c1(1,1,-1)', c1为非零常数.

(A-9E)X = 0 的基础解系为: a2 = (1,1,2)'
所以,A的属于特征值9的全部特征向量为: c2(1,1,2)', c2为非零常数.

(A+E)X = 0 的基础解系为: a3 = (1,-1,0)'
所以,A的属于特征值-1的全部特征向量为: c3(1,-1,0)', c3为非零常数.

1. 解: 系数行列式 =
1-λ -2 4
2 3-λ 1
1 1 1-λ

= -λ^3 + 5λ^2 - 6λ
= -λ(λ-2)(λ-3)

所以, λ=0 或 λ=2 或 λ=3 时,方程组有非零解.

7. |A-λE| =
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ

r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3
(只能尝试这样, -r3 是后来发现正好凑出(1-λ)公因子)
0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)
-2 1-λ -2
0 -2 -λ

第1行提出 (1-λ), 再按第1列展开 = 2 乘
(2-λ)/2 -2
-2 -λ

2乘到第1行上
2-λ -4
-2 -λ
= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)

所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)

特征值为 1,4,-2

A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为: (2,1,-2), 单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'

A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为: (2,-2,1), 单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'

A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为: (1,2,2), 单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'

则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵
P^-1AP = diag(1,4,-2)

6.解: 系数矩阵 =
1 2 -5 2
2 1 -3 5
5 -7 0 1

r2-2r1,r3-5r1
1 2 -5 2
0 -3 7 1
0 -17 25 -9

r3-6r2
1 2 -5 2
0 -3 7 1
0 1 -17 -15

r2+3r3
1 2 -5 2
0 0 -44 -44
0 1 -17 -15

r2*(-1/44), r1+5r2,r3+17r2
1 2 0 7
0 0 1 1
0 1 0 2

r1-2r3, r2<=>r3
1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 1

方程组的通解为: c(3,2,1,-1)^T, c为任意常数.

Answer 2

题都不难，但这么多题，30分太少了，哪里不会问一下还可以

追问

还有25分，全加上了，谁回答了给55分