高一数学必修一 函数映射问题

Question

1.集合A=｛1，2，3｝，B=｛3，4｝，从A到B的映射f 满足f（3）=3，则这样的映射共有几个？
2.若f:y=3x+1是从集合A=｛1，2，3，k｝到集合B=｛4，7，a^4，a^2+3a｝的一个映射，求自然数a,k和集合A,B.
3.已知A=｛a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数。

要具体的过程，越详细越好，谢谢

Answer 1

首先映射问题要注意，A中的元素必须有象，而B中元素可以没有原象
(1) f(3)=3这已经定了
但f(1)和f(2)的值可以是3，也可以是4
故映射有如下四个
f(1)=3 f(2)=3 f(3)=3
f(1)=3 f(2)=4 f(3)=3
f(1)=4 f(2)=3 f(3)=3
f(1)=4 f(2)=4 f(3)=3
(2)1，2，3，k分别代入y=3x+1
得4，7，10，3k+1所以B=｛4，7，10，3k+1｝
由于a,k是自然数，所以a^4不可能是10
所以a^2+3a=10，a^4=3k+1
解得a=2 (a=-5舍去) k=5
则A=｛1，2，3，5｝，B=｛4，7，10，16｝
(3)f(x)只有三个可能值，即-1，0，1
要使f(a)+f(b)=f(c)，可能f(c)的值进行分类讨论
当f(c)=0时，有下列三个
f(a)=0 f(b)=0 f(c)=0
f(a)=-1 f(b)=1 f(c)=0
f(a)=1 f(b)=-1 f(c)=0
当f(c)=1时，有下列两个
f(a)=0 f(b)=1 f(c)=1
f(a)=1 f(b)=0 f(c)=1
当f(c)=-1时，有下列两个
f(a)=0 f(b)=-1 f(c)=-1
f(a)=-1 f(b)=0 f(c)=-1
故映射一共有8个

Answer 2

简单的说，就是把f(x)中的x看成是一个整体，你可以把它当成t，s或者任意变量，那么f(x)=2x-1你可以当成f(t)=2t-1，f(x^2)就是用x^2代替t，得出f(x^2)=2x^2-1
，明白了吗?

Answer 3

1是映射，因为在集合A里根据规则f在集合B里都能找到对应的值；
2不是映射，因为A中的数0根据规则f在B里没有对应的取值。