常微分方程 线性方程 解的存在唯一性

Question

线性微分方程组满足初值条件x(t0)=x0 的解在区间I上是存在且唯一的。
但我有一个反例：tdx1/dt=2x1-x2;tdx2/dt=2x1-x2
它的基本解组是（t,t）与（1,2）
然后在t0=0,x0=0的时候 有两个解满足这个条件
分别是x恒等于0和x=（t,t）
怎么回事？

Answer 1

x1' = 2x1/t-x2/t x2' = 2x1/t-x2/t

注意到没有，右边的系数在0不连续。

解的存在唯一性要求有一致连续性，但是2/t 这个系数在0附近不具备一致连续性，连李普希兹条件都不满足。

唯一性的证明需要的是一个Picard逼近，需要某个表达式的差在阶数累积下可以得到无穷小，李普希兹条件或者足够的连续条件是保证其唯一性的最重要的关键所在。

不是说表达式漂亮就连续的。。。1/x在0不连续。。。

不过你这个问题貌似可以转化一下，如果做点变换，前提是x不恒等于0，然后可以转换成另一个函数z的线性微分方程，并且系数是连续的，可以最终求得x=(t,t)。是唯一解。这很明显了我就不多说了。个人建议你好好看一下解的存在唯一性之证明的本质前提，系数要足够的可控制。祝您学习愉快。