什么是剩余定理，即余数定理，又叫孙子定理

Question

不要抄，用数学文字表达···················

Answer 1

先提醒大家过去曾经有过的一个经验.

　　如果整数a除以整数b所得余数是1，那么，整数a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整数b所得的余数就分别是

　　1×2=2，

　　1×3=3，

　　1×4=4，

　　…………

　　1×（b-1）=b-1.

　　例如，15÷7=2……余1，即

　　2×15÷7=4……余2，

　　3×15÷7=6……余3，

　　4×15÷7=8……余4，

　　5×15÷7=10……余5，

　　6×15÷7=12……余6.

　　还请大家注意一条经验.

　　从某数a中连续减去若干个b后，求所得的要求小于数b的差数，实际上就是求数a除以数b所得的余数.

　　例如，从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即

　　758÷105=7……余23.

　　下面我们就来研究“孙子问题”.

　　在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.

　　实际上，上面的问题我们可以这样来想：

　　分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：

我们在第一组数中选出合乎“除以7余2”的较小数——30；

在第二组数中选出合乎“除以5余3”的较小数——63；

在第三组数中选出合乎“除以3余2”的较小数——35.

根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时合乎“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（为什么？），但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了.

3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，因此，由于前面的经验二，可知

　　128÷105=1……余23.

这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.

有意义的是，虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的，但他的解法更具有一般性.亲爱的读者，你能猜想到孙子的一般解法吗？

【规律】

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：

先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即

　　15÷7=2……余1，

　　21÷5=4……余1，

　　70÷3=23……余1.

再用找到的三个较小数分别乘以被7、5、3除所得的余数的积连加，

　　15×2+21×3+70×2=233.

最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.

　　233÷105=2……余23，

这个余数23就是合乎条件的最小数.

以上三个步骤适合于解类似“孙子问题”的所有问题.

【练习】

1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.

2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解）

3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.

4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.

5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？