f(x)在[a,b]上连续，g(x)也在[a,b]连续且不变号，求证：存在ξ∈[a,b] 有 ∫f(
f(x)在[a,b]上连续，g(x)也在[a,b]连续且不变号，求证：存在ξ∈[a,b] 有 ∫f(x)g(x)dx=f(ξ)∫g(x)dx，其中积分上标均为b，下标均为a。
即证 存在ξ∈[a,b] 有∫(f(x)-f(ξ))g(x)dx=0，由f(x)连续找一个ξ，对任意划分g(x)!=0的时候能让f(x)-f(ξ)=0就行了本回答被网友采纳
...g(x)也在[a,b]连续且不变号,求证:存在ξ∈[a,b] 有∫f(
答案如图所示
...在区间[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且不变号,则在[a,b]存在一点...
所以存在ξ∈[a,b]，使得，f(ξ)={∫[a,b]f(x)g(x)dx}\/∫[a,b]g(x)dx,即f(ξ)∫[a,b]g(x)dx,=∫[a,b]f(x)g(x)dx
积分第一中值定理
证明：由于g(x)在[a,b]上不变号，不妨设g(x)>=0。并且由f(x) 在[a,b] 上的连续性可知，f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m，使得 ，将不等式两边同时乘以g(x)，得到：,对上式在[a,b]上 取积分得 若 ，上式等号成立，，定理显然成立。若 ，不等式两边同除以 ，有 由介值...
设函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,且f(x)在【a,b】无零点,证明f(x)在...
反证法：若f(x)在【a，b】上变号，即存在c，d两点使得 f(c)*f(d)<0。不妨设c<d。于是由连续函数的零点定理，存在e位于(c，d)，使得f(e)＝0。由此f(x)在【a，b】上有 零点e。矛盾。故结论成立。
积分第一中值定理及其推广
积分第一中值定理阐述了，在区间[a, b]上，若函数f和g可积，且f在该区间连续，g不变号，则存在ξ∈[a, b]，使得积分f(x)g(x)dx等于f(ξ)积分g(x)dx。当g(x)≡1，即简化为一般积分中值定理。证明思路：设g(x)≥0，取f(x)的最小值m和最大值M，利用积分单调性得到m∫g(x)dx...
f(x)是[a,b]上的连续函数,g(x)是[a,b]上的可积函数
所以mg(x)<=g(x)f(x)<=Mg(x)m∫g(x)dx=∫mg(x)dx=<∫f(x)g(x)dx<=∫Mg(x)dx=M∫g(x)dx 所以设∫f(x)g(x)dx=T∫g(x)dx 因为f(x)连续，所以对于任何一个T满足m<=T<=M，存在ξ使得f(ξ)=T。所以证毕。反例 区间[a,b]=[0,2pi]g(x)=sin(x)f(x)=sin(...
lf(x)l在(a,b)上单调,证明:f(x)在(a,b)上不变号
本题少一个条件，即f(x)连续。如果f(x)不连续，无法得出结论。反例如下图：---
积分中值定理的推广形式是什么?
1、积分第一中值定理：若f在[a,b]上连续,则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)推广：若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分.2、积分第二中值定理：设...
[数学分析]积分第一中值定理及其推广
因此，可以推出存在至少一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ)=(∫a^bf(x)dx)\/(b-a)。积分第一中值定理可以进行推广：假设f和g在区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，那么存在至少一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ)\/g(ξ)等于f在[a, b]上的积分平均值除以g在[a, b]上的积分平均值...
什么是定积分的保号性?
1、如果f（x）在（a，b）上连续且不变号，即在整个区间上都为正值或负值，则定积分的结果也为正值或负值。例如，如果f（x）在（a，b）上始终大于等于零（即非负），则定积分的结果也大于等于零。2、如果f（x）在（a，b）上连续且单调递增（或递减），则定积分的结果也具有相同的正负性。
