基于库仑主动土压力的非线性分析理论

Answer 1

一、土压力分析模型

墙后填土的研究对象可以是砂土、黏土或其他不同深度具有不同应力应变属性（应变硬化和应变软化性质）的分层填土。在研究中采用如下假设：

1）墙背竖直且光滑，与填土之间不存在摩擦力，这样可不考虑墙背与土的本构关系。

2）墙后填土的滑动面可以是曲面或直线滑动面，为简化分析，本文假定为直线滑动面。

3）填土沿两个平面同时下滑（图5-4）：一个是墙背AB面，另一个是土体内某一滑动面BC（具有一定厚度的剪切带），楔体ABC将同时向水平方向和垂直向下方向移动，这样墙将向前平移。当墙向前平移的位移较小时，可近似认为滑动长度BC保持不变。

4）在滑动过程中，假定楔体ABC内的应力、应变变化很小，这样可不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件，以使研究聚焦于主动土压力产生的本质规律。

如图5-4所示，作用在滑动楔体上的力有自重力W（土体平均重度用γ表示）；墙对土的主动土压力P，其作用点可根据土压力强度沿墙高H的分布确定；设沿滑移面剪切带产生的总抗剪切力为T、总法向力为N；β为填土面与水平面的夹角；θ为滑移面与水平面夹角；H_s和H_h分别为应变软化介质和应变硬化介质的土层厚度，其厚度的确定可通过钻孔垂向连续取样，根据三轴压缩试验得到的应力应变曲线型式，确定从硬化（含理想塑性）到软化转折点对应的取样深度，这样即能计算出H_s和H_h。l_s和l_h分别为应变软化介质和应变硬化介质沿滑移面的长度。

图5-4 由应变硬化介质和应变软化介质组成的滑动楔体及主动土压力计算模型

设滑面剪切带的厚度均匀为h，其应变软化介质与应变硬化介质的本构模型分别采用第二章公式（2-1）和（2-5），如第二章图2-13所示。

二、尖点突变模型

根据陈仲颐等人^［12］的研究，当墙向前平移时，产生主动土压力所需的位移u_x很小，对密砂和中密砂来说其u_x/H=（0.1～0.5）%。在下面的研究中，假设位移u_x很小，且l_s和l_h均远大于u_x。

取挡土墙单位宽度，滑动楔体系统的总势能可表达为：

非线性岩土力学基础

式中，u为滑动楔体沿滑移面剪切带的蠕滑位移，且相应墙体的平移为u_x=ucosθ。

根据几何关系有：

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

l_h=l-l_s （5-5）

依据库仑主动土压力的理论解要求^［12］，在应用式（5-2）和（5-3）时，要求θ＞β，否则不可能产生主动土压力。令dV/du=0，可得：

非线性岩土力学基础

式（5-6）显然是力的平衡条件，在突变理论分析中称为平衡曲面。根据平衡曲面的光滑性质，由V‴=0，可求得尖点，即

非线性岩土力学基础

这样，可容易知道尖点处位移值，恰为滑面应变软化性质区段介质本构曲线拐点处的位移值。

将平衡曲面方程（5-6），相对于尖点处状态变量值u₁作Taylor展开，截取至3次项，并作变量代换可得到尖点突变^［8］的标准形式为：

x³+ax+b=0 （5-8）

其中：

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

式中，G_h=G₁（u_h≥u₁）或G_h=G₂（u_h＜u₁）。k为滑面剪切带应变硬化介质的剪切刚度（k_h=G_hl_h/h），与对应于本构曲线拐点处、应变软化介质的剪切刚度的绝对值（k_s=｛mG_sl_sexp［-（m+1）/m］｝/h）之比，称之为刚度比；ξ与滑楔土体重量、墙对土的作用力、系统的几何尺寸及介质的力学参数等有关，称为几何-力学参数。

在满足式（5-8）的力的平衡条件中，为求得P的极小值，可对x求导得：

3x²+a=0 （5-14）

联立式（5-8）和式（5-14），并消去x得：

非线性岩土力学基础

式中，β为参数和式且有β=6/（m+1）²。

式（5-15）在突变理论分析中称为分岔集方程。当式（5-15）满足时，表示沿滑动面剪切带的土体整体上进入临界破坏状态，达到极限平衡要求，此时P值为所求最小主动土压力。式（5-15）称为产生主动土压力的充要条件。

三、产生主动土压力的必要条件

由式（5-15）知，只有当k≤1时，分岔集方程才有可能满足，因此，产生主动土压力的必要条件为：

非线性岩土力学基础

如果k＞1，土压力将介于主动土压力和静止土压力之间。由式（5-16）可知，在其他参数不变的情况下，k随m的增大而减小。m值越大（刚度比越小），即材料的均匀性越高，越易产生主动土压力。

我们可以对k越小，土体越易进入临界破坏状态的原因作如下解释。当k较小时，应变软化介质的峰后曲线越陡，在峰后强度某个变形增量Δu时，其承担的剪切应力下降很大，应变硬化介质将承担更大的剪切应力而进入临界破坏状态，这样滑移面剪切带的土体整体上进入破坏状态。显然，只有当变形进入应变软化介质的峰后变形阶段时，才可能有k≤1，这说明强度准则只是判别土体进入临界破坏状态的必要条件之一。

由式（5-14）可解得达到临界破坏状态时，即产生主动土压力的临界位移值：

非线性岩土力学基础

当k=1时，u_b=u₁；当k=0时，u_b=u₁［1-1.4142/（m+1）］（要求m≥0.4142）。可看出，随k减小，产生主动土压力所需的临界位移减小。理论证实^［10］，u_b介于应变软化介质峰值强度对应的位移与拐点位移之间。利用上式可计算达到主动土压力所需的临界位移，若实测挡墙水平位移值小于临界水平位移（u_bcosθ），表明作用在挡墙上的土压力未达到主动土压力，土压力将介于静止土压力和主动土压力之间。如对宽度很大、高度较小的刚性挡墙，由于其位移很小，可能不产生主动土压力，如果按照主动土压力设计挡墙，将是不合理和偏于危险的。

四、总主动土压力

由式（5-13）和式（5-15）可解得总主动土压力（b＜0）为：

非线性岩土力学基础

将式（5-2）～（5-4）及式（5-5）代入式（5-18），得到：

非线性岩土力学基础

其中，

。

可以看出，总主动土压力除与H，H_s，θ，β，u₁，γ，τ_h，u_h，G_s等有关外，还与介质的刚度比k及材料的均匀性指标m有关。

当β=0时，式（5-19）可简化为：

非线性岩土力学基础

式中，

。

从图5-5可知（取γ=20 kN/m³，H=8m，Hs=2m，G_h=20 kPa，G_s=4500 kPa，u₀=0.01m，h=0.1m，θ=45°，τ_h=12 kPa，u_h=0.05m），随m增大，在m＜1时，P增大，并在m=1时取得极大值，而后随m的增大P减小。

图5-5 P-m和k-m关系

五、与经典朗肯、库仑主动土压力的比较

为与经典库仑主动土压力进行比较，考虑土体仅由一种应变软化介质组成，即H=H_s，k=0则由式（5-20）得到：

非线性岩土力学基础

将式（5-2）和（5-3）代入式（5-21），得到：

Wsinθ-Pcosθ=T_pf（m） （5-22）

其中，

非线性岩土力学基础

式中，e为自然指数；τ_p为峰值强度。在m可能的取值范围内（0.4142≤m≤3），f（m）的变化为1.090～0.997，f（m）为接近1的常数。从式（5-6）知道，f（m）应恒等于1，f（m）不等于1的原因是我们对式（5-6）作Taylor展开时进行了截断处理。这样式（5-22）可近似写为：

Wsinθ-Pcosθ=T_max （5-24）

根据莫尔-库仑破坏准则，有：

非线性岩土力学基础

式中，c为土体黏聚力。利用滑动面法向力的平衡条件得到：

N=Wcosθ+Psinθ （5-26）

联立式（5-25）和（5-26），并利用式（5-2），可解得：

非线性岩土力学基础

为求得主动土压力强度σ_a随深度z 的变化，令H=z，z 为距填土表面的距离，可求得：

非线性岩土力学基础

当θ=45°+

时，容易得到最大σ_a为：

非线性岩土力学基础

式（5-29）为朗肯主动土压力公式。当c=0时，为库仑主动土压力公式。可见朗肯或库仑土压力理论只是本文非线性分析理论的特例。

如前所述，墙后土体即使是同一种介质，也可能具有完全不同的应力应变属性。由此可知，经典朗肯或库仑土压力理论实际上只适用于具有同一应力应变属性的同一介质，其实际应用范围是很有限的。

六、主动土压力强度与深度的关系

为求得主动土压力强度沿墙高的分布规律，令z=H，z为距填土表面的距离，并假设参数k，m，G_h，G_s，H_s，u₁，τ_h，u_h不随z变化，对式（5-20）求导可得：

非线性岩土力学基础

图5-6 理论主动土压力强度随墙高的变化

图5-7 实测主动土压力强度随墙高的变化

显然，σ_a与深度z的关系是非线性的，而不是朗肯或库仑理论的线性关系。当只有应变软化介质而无应变硬化介质时，即z=H_s，k=0时，σ_a与深度z的关系是线性的。也可看出，G_h，u₁与z对σ_a-z的非线性关系有重要影响。

取γ=20 kN/m³，m=1，h=0.1m，G_s=4500 kPa，τ_h=25 kPa，u_h=0.1m，H_s=0.5m，H=15m，θ=45°，当G_h=10，15，20 kPa时，研究σ_a随深度z的变化规律。从图5-6看出，当G_h较小时，σ_a随深度z的变化是近似线性的，G_h较大时，非线性关系较明显；u₀越大，σ_a-z的非线性关系越明显。

图5-7给出室内模型试验和挡土墙实测土压力的分布，其分布为非线性的，证实本文提出的非线性土压力理论的合理性。