典型例题
例3. 从高为5m处以某一初速度竖直向下抛出一个小球，在与地面相碰后弹起，上升到高为2m处被接住，则在这段过程中
A. 小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为7m
B. 小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为7m
C. 小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为3m
D. 小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为3m
解析：本题考查基本知识在实际问题中的应用。理解位移和路程概念，并按要求去确定它们。题中物体初、末位置高度差为3m，即位移大小，末位置在初位置下方，故位移方向竖直向下，总路程则为7m。
答案：A
例4. 判断下列关于速度的说法，正确的是
A. 速度是表示物体运动快慢的物理量，它既有大小，又有方向。
B. 平均速度就是速度的平均值，它只有大小没有方向。
C. 汽车以速度 经过某一路标，子弹以速度 从枪口射出， 和 均指平均速度。
D. 运动物体经过某一时刻（或某一位置）的速度，叫瞬时速度，它是矢量。
解析：速度的物理意义就是描写物体运动的快慢，它是矢量，有大小，也有方向，故A选项正确；平均速度指物体通过的位移和通过这段位移所用时间的比值，它描写变速直线运动的平均快慢程度，不是速度的平均值，它也是矢量，故B选项不对；C中 、 对应某一位置，为瞬时速度，故C不对；D为瞬时速度的定义，D正确。
答案：A、D
例5. 一个物体做直线运动，前一半时间的平均速度为 ，后一半时间的平均速度为 ，则全程的平均速度为多少？如果前一半位移的平均速度为 ，后一半位移的平均速度为 ，全程的平均速度又为多少？
解析：（1）设总的时间为2t，则
（2）设总位移为2x，
例6. 打点计时器在纸带上的点迹，直接记录了
A. 物体运动的时间
B. 物体在不同时刻的位置
C. 物体在不同时间内的位移
D. 物体在不同时刻的速度
解析：电火花打点计时器和电磁打点计时器都是每隔0.02s在纸带上打一个点。因此，根据打在纸带上的点迹，可直接反映物体的运动时间。因为纸带跟运动物体连在一起，打点计时器固定，所以纸带上的点迹就相应地记录了物体在不同时刻的位置。虽然用刻度尺量出各点迹间的间隔，可知道物体在不同时间内的位移，再根据物体的运动性质可算出物体在不同时刻的速度，但这些量不是纸带上的点迹直接记录的。综上所述，正确的选项为AB。
答案：A、B
例7. 如图所示，打点计时器所用电源的频率为50Hz，某次实验中得到的一条纸带，用毫米刻度尺测量的情况如图所示，纸带在A、C间的平均速度为 m／s，在A、D间的平均速度为 m／s，B点的瞬时速度更接近于 m／s。
解析：由题意知，相邻两点间的时间间隔为0.02s。AC间的距离为14mm＝0.014m，AD间的距离为25mm=0.025m。
由公式 得
答案：0.35 0.42 0.35
例8. 关于加速度，下列说法中正确的是
A. 速度变化越大，加速度一定越大
B. 速度变化所用时间越短，加速度一定越大
C. 速度变化越快，加速度一定越大
D. 速度为零，加速度一定为零
解析：由加速度的定义式 可知，加速度与速度的变化量和速度变化所用的时间两个因素有关。速度变化越大，加速度不一定越大；速度变化所用时间越短，若速度变化量没有确定，也不能确定加速度一定越大。加速度是描述速度变化快慢的物理量，速度变化越快，加速度一定越大；速度为零，并不是速度的变化量为零，故加速度不一定为零。
答案：C
例9. 如图所示是某矿井中的升降机由井底到井口运动的图象，试根据图象分析各段的运动情况，并计算各段的加速度。
解析：（1）0～2s，图线是倾斜直线，说明升降机是做匀加速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
（2）2s～4s，图线是平行于时间轴的直线，说明升降机是做匀速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
（3）4s～5s，图线是向下倾斜的直线，说明升降机是做匀减速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
答案：见解析
例10. 一质点从静止开始以1m／s2的加速度匀加速运动，经5s后做匀速运动，最后2s的时间质点做匀减速运动时的速度是多大?减速运动直至静止，则质点匀减速运动时的加速度是多大?
解析：质点的运动过程包括加速 匀速 减速三个阶段，如图所示。
图示中AB为加速，BC为匀速，CD为减速，匀速运动的速度即为AB段的末速度，也是CD段的初速度，这样一来，就可以利用公式方便地求解了，
由题意画出图示，由运动学公式知：
由 应用于CD段（ ）得
负号表示 方向与 方向相反
答案：5m/s -2.5m/s2
说明：解决运动学问题要善于由题意画出运动简图，利用运动简图解题不论是从思维上还是解题过程的叙述上都变得简洁，可以说能起到事半功倍的作用。事实上，能够正确地画出运动简图说明你对题目中交待的物理过程有了很清楚的认识，这是对同学们要求比较高而且难度比较大的基本功，务必注意这一点。
例11. 汽车以l0m／s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s速度变为6m／s，求：
（1）刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度；
（2）刹车后前进9m所用的时间；
（3）刹车后8s内前进的距离。
解析：（1）汽车刹车后做匀减速直线运动，由 可求得。 ，再由 ，可求得 。
（2）由 可得
解得 ， 。
要注意汽车刹车后经 停下，故时间应为1s。
（3）由（2）可知汽车经5s停下，可见在8s时间内，汽车有3s静止不动，因此
例12. 证明
（1）在匀变速直线运动中连续相等时间（T）内的位移之差等于一个恒量。
证明：
所以 （即 为恒量）
由此结论可用来求匀变速直线运动的加速度，即
2. 在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
证明：如图所示：
所以
3. 在匀变速直线运动中，某段位移中点位置处的速度为
证明：如图所示：
①
②
由①②两式结合的：
例13. 一个作匀速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。
解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。如：
解法一：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
将 ＝24m、 ＝64m，代入上式解得：
，
解法二：用平均速度公式：
连续的两段时间t内的平均速度分别为
B点是AC段的中间时刻，则
得
解法三：用推论式：
由 得
再由
解得：
答案：1 2.5
说明：对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑公式 求解
例14. 物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4s内与第2s内的位移之差是12m，则可知：
A. 第1 s内的位移为3 m
B. 第2s末的速度为8 m／s
C. 物体运动的加速度为2m／s2
D. 物体在5s内的平均速度为15 m／s
解析：本题全面考查匀变速直线运动规律的应用，以及掌握的熟练程度，本题涉及到四个物理量的确定，要求对这些物理量的关系能融会贯通，并能抓住加速度这一关键。由题意，可利用 先求出a。
设第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移分别为x1、x2、x3、x4，则
x3－x2＝aT2， x4－x3＝aT2 所以x4－x2＝2aT2 故a＝ ＝ ＝6m/s2
又x1＝aT2/2＝6 1/2＝3m
第2s末的速度v2＝at2＝6 2＝12m/s
5s内的平均速度 ＝ ＝15m/s
答案：AD
例15. 一滑块由静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s。求：
（1）第4s末的速度；（2）头7s内的位移；（3）第3s内的位移。
解析：根据初速度为零的匀变速直线运动的比例关系求解。
（1）因为 ……＝ ……
所以
第4s末的速度为
（2）由 得前5s内的位移为：
因为 …… ……
所以
前7s内的位移为：
（3）由（2）可得
因为 ……＝1：5：……
所以 ＝1：5
第3s内的位移
例16. 汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现前方xm处有一辆自行车正以4m/s的速度同方向匀速行驶，汽车司机立即关闭油门并以6m/s2的加速度做匀减速运动。如果汽车恰好撞不上自行车，则x应为多大？
解析：这是一道很典型的追及问题，开始阶段汽车的速度大，在相同时间内汽车的位移大于自行车的位移，所以它们之间的距离逐渐减小，到速度相等时距离最小，如果此时汽车恰好没碰上自行车，以后它们的距离就会变大，再也不会碰上了。
解法1：利用速度相等这一条件求解。
当汽车的速度v1和自行车的速度v2相等时二者相距最近，
v1＝v0＋at v2＝v自
当v1＝v2时，即v0＋at＝ v自，即时间为
t＝ ＝1s
若此时恰好相撞，则位移相等，
x1＝v0t＋ at2 x2＝ v自t＋x
由x1＝ x2得v0t＋ at2＝ v自t＋x
解得 x＝3m
所以汽车撞不上自行车的条件是：x>3m
解法2：利用二次方程判别式求解
如果两车相撞，则v0t＋ at2＝ v自t＋x
带入数据并整理得 3t2－6t＋x＝0
t有解即能相撞的条件是 0
即62－4 3x 0 x 3m
所以二者不相撞的条件是：x>3m
例17. 公共汽车由停车站从静止出发以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，同时一辆汽车以36km/h的不变速度从后面越过公共汽车。求：
（1）经过多长时间公共汽车能追上汽车？
（2）后车追上前车之前，经多长时间两车相距最远，最远是多少？
解析：（1）追上即同一时刻二者处于同一位置，由于它们出发点相同，所以相遇时位移相同，即
x汽＝x公 at2/2＝v汽t t＝2v公/a＝2 10/0.5＝40s
（2）在汽车速度大于公共汽车速度过程中，二者距离逐渐增大，速度相等时距离最大，之后公共汽车速度将大于汽车速度，二者距离就会减小，所以速度相等时相距最远。
则 v汽＝v公 at＝ v汽 t＝ v汽/a＝10/0.5＝20s
最远距离x＝ v汽t－ at2/2＝10 20－0.5 202/2＝100m
例18. 下列说法中正确的是
A. 同学甲用力把同学乙推倒，说明只是甲对乙有力的作用，乙对甲没有力的作用
B. 只有有生命的物体才会施力，无生命的物体只能受到力，不会施力
C. 任何一个物体，一定既是受力物体，也是施力物体
D. 在几组力的图示中，长的线段所对应的力一定比短的线段所对应的力大
解析：力的作用是相互的。但效果可以不同，故A错。
不管物体是否有生命，当它与别的物体发生相互作用时，它既是施力物体，同时也是受力物体。不存在只施力不受力的物体，也不存在只受力不施力的物体，故B错。
自然界中的物体都不是孤立的，而是相互联系着的，每一个物体总会受到别的物体的作用，是受力体，同时也对别的物体施加力的作用，又是施力体，故C正确。
在同一个标度下，说法D没有错，但在没有指明力的标度或采用不同标度时，线段的长度就失去了表示力的大小的意义，故D错。
答案：C
说明：本题考查了力的概念。力是物体间的相互作用。
一方面说明了力不能脱离物体而存在，另一方面说明了力的相互性，一个物体既是施力物体，同时也是受力物体。
例19. 请在下图画出杆和球所受的弹力。
（a）杆在重力作用下对A、B两处都产生挤压作用，故A、B两点处对杆都有弹力，弹力方向与接触点的平面垂直，如下图（a）所示。
（b）杆对C、D两处有挤压作用，因C处为曲面，D处为支撑点，所以C处弹力垂直其切面指向球心，D处弹力垂直杆向上。如下图（b）所示。
（c）挤压墙壁且拉紧绳子，所以墙对球的弹力与墙面垂直；绳子对球的弹力沿绳斜向上。如下图（c）所示。
说明：面接触时的压力和支持力与接触面垂直，但不一定竖直，点接触的压力和支持力与过切点的切面垂直，沿球面的半径方向。
例20. 用水平推力F＝20N把一个质量为5kg的物体压在竖直墙壁上下滑，墙壁与物体的动摩擦因数为0.2，判断物体所受摩擦力的方向，求摩擦力的大小。
解析：物体对墙壁的压力FN＝F＝20N，所受摩擦力F’＝ FN＝0.2×20N＝4N，物体相对于墙下滑，物体受到的摩擦力的方向向上。
答案：向上 4N
说明：物体对接触面的压力不一定等于物体受的重力。
例21. 如图所示，地面上叠放着A、B两个物体，力F分别作用于A、B两物体上时，A、B静止不动，试分别分析A、B受到的摩擦力的情况。
解析：（1）F作用于A物体，A相对B有向右的运动趋势，B相对A有向左的运动趋势，故A受到向左的静摩擦力，其大小等于F。B受到A给它的向右的静摩擦力，其大小也等于F。由于A、B相对静止，B有向右运动的趋势，因此B受到地面给它的向左的静摩擦力，大小也等于F，如下图所示。
（2）F作用于B物体上，B相对地有向右的运动趋势，故B受到地面给它的向左的静摩擦力，大小等于F。而A物体若受到B物体给它的摩擦力，则不可能静止，故A、B之间没有摩擦力的作用。如下图所示。
答案：见解析。
说明：在判断物体之间有无静摩擦力时，也可以先假设两物体之间有静摩擦力的作用，而实际情况与判断的结果不符，则无此静摩擦力。
例22. 关于两个力的合力，下列说法错误的是
A. 两个力的合力一定大于每个分力
B. 两个力的合力可能小于较小的那个分力
C. 两个力的合力一定小于或等于两个分力
D. 当两个力大小相等时，它们的合力可能等于分力大小
解析：设分力F1与分力F2的夹角为 ，根据力的平行四边形定则，合力为F，以F1、F2为邻边的平行四边形所夹的对角线，如图所示。当 时，F＝F1＋F2；当 时，F＝|F1－F2|，以上分别为合力F的最大值和最小值。当F1＝F2且夹角 时，合力F＝0，小于任何一个分力，当F1＝F2，夹角 时，合力F ＝F1＝F2，故本题的正确答案为AC。
答案：A C
例23. 在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上（如图）。如果钢丝绳与地面的夹角 ，每条钢丝绳的拉力都是300N，求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力。
解析：由图可知，两根钢丝绳的拉力F1和F2之间的夹角为 ，可根据平行四边形定则用作图法和解三角形法求出电线杆受到的合力。
方法一：作图法。 自O点引两条有向线段OC和OD，夹角为 。设定每单位长度表示100N，则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度。
所以合力F＝100×5.2N＝520N
用量角器量得
所以合力方向竖直向下。
方法二：计算法。先画出力的平行四边形，如图所示，由于OC＝OD，得到的是菱形。连结CD、OE，两对角线垂直且平分，OD表示300N， 。在三角形 中， 。在力的平行四边形中，各线段的长表示力的大小，则有 ，所以合力
说明：力的合成有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋。“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是用平行四边形先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确。今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力。在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等。
例24. 物体受到三个力的作用，其中两个力的大小分别为5N和7N，这三个力的合力最大值为21N，则第三个力的大小为多少?这三个力的合力最小值为多少?
解析：当三个力的合力最大时，这三个力一定是在同一直线上，且方向相同，即合力F合＝F1＋F2＋F3，则F3＝ F合－F1－F2＝9N. 关于三个力的合力的最小值问题，有些同学仍受标量代数求和的干扰，不能真正理解矢量运算法则，而错误地认为合力最小值F’合＝F1＋F2－F3＝3N，正确的方法应是：看三个力的大小是否能构成一个封闭三角形，即任取一个力，看这个力是否处在另外两个力的差和之间。若三个力满足上述条件，则合力的最小值为零；若不满足上述条件，则合力的最小值为较小的两个力先同方向合成，再和较大的一个力反方向合成的合力。
答案：第三个力大小是9N，三个力合力的最小值为零。
例25. 将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是
A. F是物体实际受到的力
B. F1和F2两个分力在效果上可以取代力F
C. 物体受到F1、F2和F三个力的作用
D. F是F1和F2的合力
解析：由分力和合力具有等效性可知B正确，分力F1和F2并不是物体实际受到的力，故A对C错。
答案：A、B、D
说明：合力与分力是一种等效替代关系，在力的合成中，分力是物体实际受到的力。在力的分解中，分力不是物体实际受到的力。
例26. 如图所示，电灯的重力G＝10N，AO绳与顶板间夹角为 ，BO绳水平，则AO绳所受的拉力F1＝ ；BO绳所受的拉力F2＝ 。
解析：先分析物理现象：为什么绳AO、BO受到拉力呢?原因是由于OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO的分力Fl；二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形，如图所示，因为OC拉力等于电灯重力，因此由几何关系得
，
答案： N 10N
说明：将一个已知力分解，在理论上是任意的，只要符合平行四边形定则就行，但在实际问题中，首先要弄清所分解的力有哪些效果，再确定各分力的方向，最后应用平行四边形定则求解。
例27. 在倾角 的斜面上有一块竖直放置的挡板，在挡板和斜面之间放有一个重为G＝20N光滑圆球，如图甲所示，试求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
解析：先分析物理现象，为什么挡板和斜面受压力呢?原因是球受到向下的重力作用，这个重力总是欲使球向下运动，但是由于挡板和斜面的支持，球才保持静止状态，因此球的重力产生了两个作用效果，如图乙所示，故产生两个分力：一是使球垂直压紧挡板的力F1，二是使球垂直压紧斜面的力F2；由几何关系得： ， 。F1和F2分别等于球对挡板和斜面的压力。
答案： ，
说明：根据力实际产生的效果分解是同学们应该掌握的—项很重要的方法。
例3. 从高为5m处以某一初速度竖直向下抛出一个小球，在与地面相碰后弹起，上升到高为2m处被接住，则在这段过程中
A. 小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为7m
B. 小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为7m
C. 小球的位移为3m，方向竖直向下，路程为3m
D. 小球的位移为7m，方向竖直向上，路程为3m
解析：本题考查基本知识在实际问题中的应用。理解位移和路程概念，并按要求去确定它们。题中物体初、末位置高度差为3m，即位移大小，末位置在初位置下方，故位移方向竖直向下，总路程则为7m。
答案：A
例4. 判断下列关于速度的说法，正确的是
A. 速度是表示物体运动快慢的物理量，它既有大小，又有方向。
B. 平均速度就是速度的平均值，它只有大小没有方向。
C. 汽车以速度 经过某一路标，子弹以速度 从枪口射出， 和 均指平均速度。
D. 运动物体经过某一时刻（或某一位置）的速度，叫瞬时速度，它是矢量。
解析：速度的物理意义就是描写物体运动的快慢，它是矢量，有大小，也有方向，故A选项正确；平均速度指物体通过的位移和通过这段位移所用时间的比值，它描写变速直线运动的平均快慢程度，不是速度的平均值，它也是矢量，故B选项不对；C中 、 对应某一位置，为瞬时速度，故C不对；D为瞬时速度的定义，D正确。
答案：A、D
例5. 一个物体做直线运动，前一半时间的平均速度为 ，后一半时间的平均速度为 ，则全程的平均速度为多少？如果前一半位移的平均速度为 ，后一半位移的平均速度为 ，全程的平均速度又为多少？
解析：（1）设总的时间为2t，则
（2）设总位移为2x，
例6. 打点计时器在纸带上的点迹，直接记录了
A. 物体运动的时间
B. 物体在不同时刻的位置
C. 物体在不同时间内的位移
D. 物体在不同时刻的速度
解析：电火花打点计时器和电磁打点计时器都是每隔0.02s在纸带上打一个点。因此，根据打在纸带上的点迹，可直接反映物体的运动时间。因为纸带跟运动物体连在一起，打点计时器固定，所以纸带上的点迹就相应地记录了物体在不同时刻的位置。虽然用刻度尺量出各点迹间的间隔，可知道物体在不同时间内的位移，再根据物体的运动性质可算出物体在不同时刻的速度，但这些量不是纸带上的点迹直接记录的。综上所述，正确的选项为AB。
答案：A、B
例7. 如图所示，打点计时器所用电源的频率为50Hz，某次实验中得到的一条纸带，用毫米刻度尺测量的情况如图所示，纸带在A、C间的平均速度为 m／s，在A、D间的平均速度为 m／s，B点的瞬时速度更接近于 m／s。
解析：由题意知，相邻两点间的时间间隔为0.02s。AC间的距离为14mm＝0.014m，AD间的距离为25mm=0.025m。
由公式 得
答案：0.35 0.42 0.35
例8. 关于加速度，下列说法中正确的是
A. 速度变化越大，加速度一定越大
B. 速度变化所用时间越短，加速度一定越大
C. 速度变化越快，加速度一定越大
D. 速度为零，加速度一定为零
解析：由加速度的定义式 可知，加速度与速度的变化量和速度变化所用的时间两个因素有关。速度变化越大，加速度不一定越大；速度变化所用时间越短，若速度变化量没有确定，也不能确定加速度一定越大。加速度是描述速度变化快慢的物理量，速度变化越快，加速度一定越大；速度为零，并不是速度的变化量为零，故加速度不一定为零。
答案：C
例9. 如图所示是某矿井中的升降机由井底到井口运动的图象，试根据图象分析各段的运动情况，并计算各段的加速度。
解析：（1）0～2s，图线是倾斜直线，说明升降机是做匀加速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
（2）2s～4s，图线是平行于时间轴的直线，说明升降机是做匀速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
（3）4s～5s，图线是向下倾斜的直线，说明升降机是做匀减速运动，根据速度图象中斜率的物理意义可求得加速度 。
答案：见解析
例10. 一质点从静止开始以1m／s2的加速度匀加速运动，经5s后做匀速运动，最后2s的时间质点做匀减速运动时的速度是多大?减速运动直至静止，则质点匀减速运动时的加速度是多大?
解析：质点的运动过程包括加速 匀速 减速三个阶段，如图所示。
图示中AB为加速，BC为匀速，CD为减速，匀速运动的速度即为AB段的末速度，也是CD段的初速度，这样一来，就可以利用公式方便地求解了，
由题意画出图示，由运动学公式知：
由 应用于CD段（ ）得
负号表示 方向与 方向相反
答案：5m/s -2.5m/s2
说明：解决运动学问题要善于由题意画出运动简图，利用运动简图解题不论是从思维上还是解题过程的叙述上都变得简洁，可以说能起到事半功倍的作用。事实上，能够正确地画出运动简图说明你对题目中交待的物理过程有了很清楚的认识，这是对同学们要求比较高而且难度比较大的基本功，务必注意这一点。
例11. 汽车以l0m／s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s速度变为6m／s，求：
（1）刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度；
（2）刹车后前进9m所用的时间；
（3）刹车后8s内前进的距离。
解析：（1）汽车刹车后做匀减速直线运动，由 可求得。 ，再由 ，可求得 。
（2）由 可得
解得 ， 。
要注意汽车刹车后经 停下，故时间应为1s。
（3）由（2）可知汽车经5s停下，可见在8s时间内，汽车有3s静止不动，因此
例12. 证明
（1）在匀变速直线运动中连续相等时间（T）内的位移之差等于一个恒量。
证明：
所以 （即 为恒量）
由此结论可用来求匀变速直线运动的加速度，即
2. 在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
证明：如图所示：
所以
3. 在匀变速直线运动中，某段位移中点位置处的速度为
证明：如图所示：
①
②
由①②两式结合的：
例13. 一个作匀速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。
解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。如：
解法一：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
将 ＝24m、 ＝64m，代入上式解得：
，
解法二：用平均速度公式：
连续的两段时间t内的平均速度分别为
B点是AC段的中间时刻，则
得
解法三：用推论式：
由 得
再由
解得：
答案：1 2.5
说明：对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑公式 求解
例14. 物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4s内与第2s内的位移之差是12m，则可知：
A. 第1 s内的位移为3 m
B. 第2s末的速度为8 m／s
C. 物体运动的加速度为2m／s2
D. 物体在5s内的平均速度为15 m／s
解析：本题全面考查匀变速直线运动规律的应用，以及掌握的熟练程度，本题涉及到四个物理量的确定，要求对这些物理量的关系能融会贯通，并能抓住加速度这一关键。由题意，可利用 先求出a。
设第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移分别为x1、x2、x3、x4，则
x3－x2＝aT2， x4－x3＝aT2 所以x4－x2＝2aT2 故a＝ ＝ ＝6m/s2
又x1＝aT2/2＝6 1/2＝3m
第2s末的速度v2＝at2＝6 2＝12m/s
5s内的平均速度 ＝ ＝15m/s
答案：AD
例15. 一滑块由静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s。求：
（1）第4s末的速度；（2）头7s内的位移；（3）第3s内的位移。
解析：根据初速度为零的匀变速直线运动的比例关系求解。
（1）因为 ……＝ ……
所以
第4s末的速度为
（2）由 得前5s内的位移为：
因为 …… ……
所以
前7s内的位移为：
（3）由（2）可得
因为 ……＝1：5：……
所以 ＝1：5
第3s内的位移
例16. 汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现前方xm处有一辆自行车正以4m/s的速度同方向匀速行驶，汽车司机立即关闭油门并以6m/s2的加速度做匀减速运动。如果汽车恰好撞不上自行车，则x应为多大？
解析：这是一道很典型的追及问题，开始阶段汽车的速度大，在相同时间内汽车的位移大于自行车的位移，所以它们之间的距离逐渐减小，到速度相等时距离最小，如果此时汽车恰好没碰上自行车，以后它们的距离就会变大，再也不会碰上了。
解法1：利用速度相等这一条件求解。
当汽车的速度v1和自行车的速度v2相等时二者相距最近，
v1＝v0＋at v2＝v自
当v1＝v2时，即v0＋at＝ v自，即时间为
t＝ ＝1s
若此时恰好相撞，则位移相等，
x1＝v0t＋ at2 x2＝ v自t＋x
由x1＝ x2得v0t＋ at2＝ v自t＋x
解得 x＝3m
所以汽车撞不上自行车的条件是：x>3m
解法2：利用二次方程判别式求解
如果两车相撞，则v0t＋ at2＝ v自t＋x
带入数据并整理得 3t2－6t＋x＝0
t有解即能相撞的条件是 0
即62－4 3x 0 x 3m
所以二者不相撞的条件是：x>3m
例17. 公共汽车由停车站从静止出发以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，同时一辆汽车以36km/h的不变速度从后面越过公共汽车。求：
（1）经过多长时间公共汽车能追上汽车？
（2）后车追上前车之前，经多长时间两车相距最远，最远是多少？
解析：（1）追上即同一时刻二者处于同一位置，由于它们出发点相同，所以相遇时位移相同，即
x汽＝x公 at2/2＝v汽t t＝2v公/a＝2 10/0.5＝40s
（2）在汽车速度大于公共汽车速度过程中，二者距离逐渐增大，速度相等时距离最大，之后公共汽车速度将大于汽车速度，二者距离就会减小，所以速度相等时相距最远。
则 v汽＝v公 at＝ v汽 t＝ v汽/a＝10/0.5＝20s
最远距离x＝ v汽t－ at2/2＝10 20－0.5 202/2＝100m
例18. 下列说法中正确的是
A. 同学甲用力把同学乙推倒，说明只是甲对乙有力的作用，乙对甲没有力的作用
B. 只有有生命的物体才会施力，无生命的物体只能受到力，不会施力
C. 任何一个物体，一定既是受力物体，也是施力物体
D. 在几组力的图示中，长的线段所对应的力一定比短的线段所对应的力大
解析：力的作用是相互的。但效果可以不同，故A错。
不管物体是否有生命，当它与别的物体发生相互作用时，它既是施力物体，同时也是受力物体。不存在只施力不受力的物体，也不存在只受力不施力的物体，故B错。
自然界中的物体都不是孤立的，而是相互联系着的，每一个物体总会受到别的物体的作用，是受力体，同时也对别的物体施加力的作用，又是施力体，故C正确。
在同一个标度下，说法D没有错，但在没有指明力的标度或采用不同标度时，线段的长度就失去了表示力的大小的意义，故D错。
答案：C
说明：本题考查了力的概念。力是物体间的相互作用。
一方面说明了力不能脱离物体而存在，另一方面说明了力的相互性，一个物体既是施力物体，同时也是受力物体。
例19. 请在下图画出杆和球所受的弹力。
（a）杆在重力作用下对A、B两处都产生挤压作用，故A、B两点处对杆都有弹力，弹力方向与接触点的平面垂直，如下图（a）所示。
（b）杆对C、D两处有挤压作用，因C处为曲面，D处为支撑点，所以C处弹力垂直其切面指向球心，D处弹力垂直杆向上。如下图（b）所示。
（c）挤压墙壁且拉紧绳子，所以墙对球的弹力与墙面垂直；绳子对球的弹力沿绳斜向上。如下图（c）所示。
说明：面接触时的压力和支持力与接触面垂直，但不一定竖直，点接触的压力和支持力与过切点的切面垂直，沿球面的半径方向。
例20. 用水平推力F＝20N把一个质量为5kg的物体压在竖直墙壁上下滑，墙壁与物体的动摩擦因数为0.2，判断物体所受摩擦力的方向，求摩擦力的大小。
解析：物体对墙壁的压力FN＝F＝20N，所受摩擦力F’＝ FN＝0.2×20N＝4N，物体相对于墙下滑，物体受到的摩擦力的方向向上。
答案：向上 4N
说明：物体对接触面的压力不一定等于物体受的重力。
例21. 如图所示，地面上叠放着A、B两个物体，力F分别作用于A、B两物体上时，A、B静止不动，试分别分析A、B受到的摩擦力的情况。
解析：（1）F作用于A物体，A相对B有向右的运动趋势，B相对A有向左的运动趋势，故A受到向左的静摩擦力，其大小等于F。B受到A给它的向右的静摩擦力，其大小也等于F。由于A、B相对静止，B有向右运动的趋势，因此B受到地面给它的向左的静摩擦力，大小也等于F，如下图所示。
（2）F作用于B物体上，B相对地有向右的运动趋势，故B受到地面给它的向左的静摩擦力，大小等于F。而A物体若受到B物体给它的摩擦力，则不可能静止，故A、B之间没有摩擦力的作用。如下图所示。
答案：见解析。
说明：在判断物体之间有无静摩擦力时，也可以先假设两物体之间有静摩擦力的作用，而实际情况与判断的结果不符，则无此静摩擦力。
例22. 关于两个力的合力，下列说法错误的是
A. 两个力的合力一定大于每个分力
B. 两个力的合力可能小于较小的那个分力
C. 两个力的合力一定小于或等于两个分力
D. 当两个力大小相等时，它们的合力可能等于分力大小
解析：设分力F1与分力F2的夹角为 ，根据力的平行四边形定则，合力为F，以F1、F2为邻边的平行四边形所夹的对角线，如图所示。当 时，F＝F1＋F2；当 时，F＝|F1－F2|，以上分别为合力F的最大值和最小值。当F1＝F2且夹角 时，合力F＝0，小于任何一个分力，当F1＝F2，夹角 时，合力F ＝F1＝F2，故本题的正确答案为AC。
答案：A C
例23. 在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上（如图）。如果钢丝绳与地面的夹角 ，每条钢丝绳的拉力都是300N，求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力。
解析：由图可知，两根钢丝绳的拉力F1和F2之间的夹角为 ，可根据平行四边形定则用作图法和解三角形法求出电线杆受到的合力。
方法一：作图法。 自O点引两条有向线段OC和OD，夹角为 。设定每单位长度表示100N，则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度。
所以合力F＝100×5.2N＝520N
用量角器量得
所以合力方向竖直向下。
方法二：计算法。先画出力的平行四边形，如图所示，由于OC＝OD，得到的是菱形。连结CD、OE，两对角线垂直且平分，OD表示300N， 。在三角形 中， 。在力的平行四边形中，各线段的长表示力的大小，则有 ，所以合力
说明：力的合成有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋。“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是用平行四边形先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确。今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力。在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等。
例24. 物体受到三个力的作用，其中两个力的大小分别为5N和7N，这三个力的合力最大值为21N，则第三个力的大小为多少?这三个力的合力最小值为多少?
解析：当三个力的合力最大时，这三个力一定是在同一直线上，且方向相同，即合力F合＝F1＋F2＋F3，则F3＝ F合－F1－F2＝9N. 关于三个力的合力的最小值问题，有些同学仍受标量代数求和的干扰，不能真正理解矢量运算法则，而错误地认为合力最小值F’合＝F1＋F2－F3＝3N，正确的方法应是：看三个力的大小是否能构成一个封闭三角形，即任取一个力，看这个力是否处在另外两个力的差和之间。若三个力满足上述条件，则合力的最小值为零；若不满足上述条件，则合力的最小值为较小的两个力先同方向合成，再和较大的一个力反方向合成的合力。
答案：第三个力大小是9N，三个力合力的最小值为零。
例25. 将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是
A. F是物体实际受到的力
B. F1和F2两个分力在效果上可以取代力F
C. 物体受到F1、F2和F三个力的作用
D. F是F1和F2的合力
解析：由分力和合力具有等效性可知B正确，分力F1和F2并不是物体实际受到的力，故A对C错。
答案：A、B、D
说明：合力与分力是一种等效替代关系，在力的合成中，分力是物体实际受到的力。在力的分解中，分力不是物体实际受到的力。
例26. 如图所示，电灯的重力G＝10N，AO绳与顶板间夹角为 ，BO绳水平，则AO绳所受的拉力F1＝ ；BO绳所受的拉力F2＝ 。
解析：先分析物理现象：为什么绳AO、BO受到拉力呢?原因是由于OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO的分力Fl；二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形，如图所示，因为OC拉力等于电灯重力，因此由几何关系得
，
答案： N 10N
说明：将一个已知力分解，在理论上是任意的，只要符合平行四边形定则就行，但在实际问题中，首先要弄清所分解的力有哪些效果，再确定各分力的方向，最后应用平行四边形定则求解。
例27. 在倾角 的斜面上有一块竖直放置的挡板，在挡板和斜面之间放有一个重为G＝20N光滑圆球，如图甲所示，试求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
解析：先分析物理现象，为什么挡板和斜面受压力呢?原因是球受到向下的重力作用，这个重力总是欲使球向下运动，但是由于挡板和斜面的支持，球才保持静止状态，因此球的重力产生了两个作用效果，如图乙所示，故产生两个分力：一是使球垂直压紧挡板的力F1，二是使球垂直压紧斜面的力F2；由几何关系得： ， 。F1和F2分别等于球对挡板和斜面的压力。
答案： ，
说明：根据力实际产生的效果分解是同学们应该掌握的—项很重要的方法。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
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