在三角形ABC中,已知a乘以cos^2乘以C/2+c乘以cos^2乘以A/2=3/2b.(1)求证:a、b、c成等差数列；（1)求角B范围

Answer 1

已知：a*cos²(C/2)+c*cos²(A/2)=3/2b 利用余弦二倍角公式，降幂角加倍可得
a*(1+cosC)/2 + c(1+cosA)/2=3b/2
即，a+c+a*cosC+c*cosA=3b 利用余弦定理，消去cosA, cosC得，
a+c+a* (a²+b²-c²)/2ab + c*(b²+c²-a²)/2bc=3b
化解即可得，2b(a+c) + (a²+b²-c²) + (b²+c²-a²) =6b²
整理后可得，2b(a+c)=4b²，因为a, b, c为三角形的三边，故b≠0，
所以，可得，a+c=2b，即证明得，a, b, c三边成等差数列！

cosB=(a²+c²-b²)/2ac，a+c=2b, b²=(a+c)²/4
所以，cosB=[3/4(a²+c²)-ac/2]/2ac=[3/8(a²+c²)]/ac -1/4
根据均值不等式可得，a²+c²≥2ac，所以可得1/2 ≤ [3/8(a²+c²)]/ac -1/4 < 1
即，1/2 ≤ cosB < 1，
显然，根据三角函数的图像及性质，可得，0< B ≤ ∏/3

Answer 2

(1)由a*cos²(C/2)+c*cos²(A/2)=(3/2)b，运用半角公式得
a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b
将余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，cosA=(c²+b²-a²)/(2bc)代入上式得
a[1+(a²+b²-c²)/(2ab)]+c[1+(c²+b²-a²)/(2bc)]=3b
两边同乘以2abc得
a[2abc+c(a²+b²-c²)]+c[2abc+a(c²+b²-a²)]=6ab²c
ac(2ab+a²+b²-c²)+ac(2bc+c²+b²-a²)=6ab²c
(2ab+a²+b²-c²)+(2bc+c²+b²-a²)=6b²
2ab+b²+2bc+b²=6b²
a+c=2b
所以a、b、c成等差数列；
(2)将a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上一问的结论a+c=2b得
sinA+sinC=2sinB
运用和差化积公式及倍角公式化简得
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2sinB
2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=2sinB
2cos(B/2)cos[(A-C)/2]=2*2sin(B/2)cos(B/2)
cos[(A-C)/2]=2sin(B/2)
因为0<A<π，0<C<π，所以-π/2<(A-C)/2<π/2，0<cos[(A-C)/2]≤1，
所以0<2sin(B/2)≤1，0<sin(B/2)≤1/2，0<B/2≤π/6，0<B≤π/3。

Answer 3

贴图了 b在60到90之间，图上不对