什么是二元函数的微分中值定理？

Question

如题，什么是二元函数的微分中值定理？请附上完整的条件，谢谢大家！

Answer 1

主要就是拉格朗日微分中值定理：

（1）存在一个闭区间［a,b]，内f(x) = y有意义。

（2）f(x)在［a,b]连续。

（3）f(x)在（a,b）内可导；那么，在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ＜b），使得下式成立：f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a）初等函数（比如二元函数）一般都可导，主要是连续的条件。

罗尔定理

如果函数f(x)满足：

在闭区间［a,b]上连续。

在开区间（a,b)内可导。

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)。

那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。

Answer 2

主要就是拉格朗日微分中值定理
(1)存在一个闭区间[a,b]，内f(x) = y有意义；
(2)f(x)在[a,b]连续；
(3)f(x)在(a,b)内可导；
那么，在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得下式成立：
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)

初等函数（比如二元函数）一般都可导，主要是连续的条件

追问

这个...我是问二元函数的，也就是关于f(x,y)的，谢谢。

追答

你说的是三元吧
y = f(x)是二元

其实是一样的：
z = f(x,y)在区域D中连续偏导，且点O（a,b）和点P(a+ξa,b+ξb)属于D，直线OP是D的子集，存在一个ε(0<ε<1),使得：
f(a+ξa,b+ξb) - f(a,b) = df(a+εξa,b+εξb)成立

其中：df(a+εξa,b+εξb)是对x,y的偏导的取值

Answer 3

f(x)在单连通开区域D内一阶可微，且在E(E为D并上D的边界)上连续。
a,b属于E，则存在点c属于D有f(a)-f(b)=\nabla f (c)· \nabla x(t0)，其中x(t)为可微的向量值函数且曲线除端点外属于D，x(0)=a, x(1)=b, 0<t0<1, x(t0)=c

其中：\nabla f 为分量为 f 对各个自变量的偏导构成的向量；\nabla x 为向量值函数对 t 的导数（也是一个向量）；· 表示两个向量的点积；单连通、开区域、边界，就不需要解释了吧

Answer 4

主要就是拉格朗日微分中值定理
(1)存在一个闭区间[a,b]，内f(x)
=
y有意义；
(2)f(x)在[a,b]连续；
(3)f(x)在(a,b)内可导；
那么，在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得下式成立：
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
初等函数（比如二元函数）一般都可导，主要是连续的条件