根号下1-x^2的积分

Answer 1

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。

解：∫√(1-x^2)dx

令x=sint，那么

∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint

=∫cost*costdt

=1/2*∫(1+cos2t)dt

=1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt

=t/2+1/4*sin2t+C

又sint=x，那么t=arcsinx，sin2t=2sintcost=2x*√(1-x^2)

所以∫√(1-x^2)dx=t/2+1/4*sin2t+C=1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C

扩展资料：

1、换元积分法

（1）第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C 直接利用积分公式求出不定积分。

（2）三角换元法

通过三角函数之间的相互关系，进行三角换元，把元积分转换为三角函数的积分。

2、三角函数转换关系

1=(sinA)^2+(cosA)^2、(secA)^2=1+(tanA)^2

3、常见积分公式

∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。

解：∫√(1-x^2)dx

令x=sint，那么

∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint

=∫cost*costdt

=1/2*∫(1+cos2t)dt

=1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt

=t/2+1/4*sin2t+C

又sint=x，那么t=arcsinx，sin2t=2sintcost=2x*√(1-x^2)

所以∫√(1-x^2)dx=t/2+1/4*sin2t+C=1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C

扩展资料

勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。

测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。

Answer 3

根号下1-x^2的积分可以通过三角代换来求解。
我们可以使用sin(theta) = x进行代换，其中0 <= theta <= (pi/2)。
根据三角恒等式sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1，我们可以得到cos(theta) = sqrt(1 - sin^2(theta))。
接下来，我们需要计算dx。根据sin(theta) = x，我们可以得到cos(theta)d(theta) = dx。
将代换项代入原积分中，得到：
∫ sqrt(1 - x^2) dx = ∫ sqrt(1 - sin^2(theta)) * cos(theta) d(theta)
= ∫ sqrt(cos^2(theta)) * cos(theta) d(theta)
= ∫ cos^2(theta) d(theta)
根据cos^2(theta) = (1 + cos(2theta)) / 2，我们可以继续化简得到：
= ∫ (1 + cos(2theta)) / 2 d(theta)
= (1/2)∫ (1 + cos(2theta)) d(theta)
= (1/2)[∫ d(theta) + ∫ cos(2theta) d(theta)]
= (1/2)(theta + (1/2)sin(2theta)) + C
最后再将theta代换回x，得到最终的积分结果：
∫ sqrt(1 - x^2) dx = (1/2)(arcsin(x) + x√(1 - x^2)) + C
其中C为积分常数。

Answer 4

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。

解：∫√(1-x^2)dx

令x=sint，那么

∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint

=∫cost*costdt

=1/2*∫(1+cos2t)dt

=1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt

=t/2+1/4*sin2t+C

又sint=x，那么t=arcsinx，sin2t=2sintcost=2x*√(1-x^2)

所以∫√(1-x^2)dx=t/2+1/4*sin2t+C=1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C

扩展资料：

1、换元积分法

（1）第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C 直接利用积分公式求出不定积分。

（2）三角换元法

通过三角函数之间的相互关系，进行三角换元，把元积分转换为三角函数的积分。

2、三角函数转换关系

1=(sinA)^2+(cosA)^2、(secA)^2=1+(tanA)^2

3、常见积分公式

∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C

Answer 5

楼主这是不定积分吧
∫√(1-x^2 )dx令x=sint，-π/2≤t≤π/2
则原积分可化为：
∫costdsint
=∫cos²tdt
=∫（cos2t+1）/2dt
=1/4∫cos2td（2t）+1/2∫dt
=1/4sin2t+1/2t +C