高中数学

Question

不等式证明
对于任意n属于正整数，x1,x2,x3,…xn均为非负实数,且x1+x2+x3…+xn≤1／2,证明(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2成立。
附；别用数学归纳法怎么证，怎么办呢？谁能告诉我

Answer 1

证明：（利用多项式乘法展开）
(1－x1)(1－x2)（1—x3）（1—x4）（1—x5）…(1－xn)
=1
—（x1+x2+x3+x4+x5+…+xn）
+[（x1*x2+x1*x3+x1*x4+x1*x5+…x1*xn）+(x2*x3+x2*x4+x2*x5+…+x2*xn)+(x3*x4+x3*x5+…+x3*xn)+…+（xn-1*xn）]
—[(x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x2*x5+…+x1*x2*xn)+(x2*x3*x4+x2*x3*x5+…x2*x3*xn)+…+（xn-2*xn-1*xn）]
+……
+[x1*x2*x3*x4*x5*…*xn]
【注意观察：
1、第一个中括号
[（x1*x2+x1*x3+x1*x4+x1*x5+…x1*xn）+(x2*x3+x2*x4+x2*x5+…+x2*xn)+(x3*x4+x3*x5+…+x3*xn)+…+（xn-1*xn）]
括号中的每一项都是x1,x2,x3,…xn中两项相乘的积
2、第二个中括号
—[(x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x2*x5+…+x1*x2*xn)+(x2*x3*x4+x2*x3*x5+…x2*x3*xn)+…+（xn-2*xn-1*xn）]
括号中的每一项都是x1,x2,x3,…xn中三项相乘的积】
由于x1+x2+x3…+xn≤1／2
所以—（x1+x2+x3…+xn）≥—1／2
故展开式中的前两项1—（x1+x2+x3+x4+x5+…+xn）≥1／2
由于x1,x2,x3,…xn均为非负实数,即每一项均为正
有因为x1+x2+x3…+xn≤1／2，即x1,x2,x3,…xn中的每一项都比1/2小。
把第一个中括号和第二个中括号中的第一个小括号里的第一项合并得：x1*x2*(1-x3)为正，
再把第一个中括号和第二个中括号中对应的每一项一项合并，都可得到为正。
【注意：展开式中的第一个中括号中的每一项都是x1,x2,x3,…xn中两项相乘的积、第二个括号中的每一项都是x1,x2,x3,…xn中三项相乘的积、除此之外，中间还有四项相乘的积、五项相乘的积……一直到最后一项n项相乘的积[x1*x2*x3*x4*x5*…*xn]，处理方法和上面的一致，即把第三个中括号和第四个中括号中对应的每一项一项合并，如：x1*x2*x3*x4*(1-x5)为正。如此处理后面的每一项都可得到为正。】
综上所述，(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2成立。，8146824682p纭i狻xナjrиkРСy痢′y痢′fe不要灰心，相信你是最棒的

你可以试下

Answer 2

由x1+x2+x3…+xn≤1／2知xn≤1/2n→1-xn≥1-1/2n=(2n-1)/2n
令y=(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥(1-1/2n)∧n
取y最小y=(1-1/2n)∧n
对y求导过程如下
lny=n*ln(1-1/2n)
y'*1/y=ln(1-1/2n)+n*2n/(2n-1)*1/(2n∧2)
y'={ln(1-1/2n)+n*2n/(2n-1)*1/(2n∧2)}*(1-1/2n)∧n
y'={ln(1-1/2n)+1/(2n-1)}*(1-1/2n)∧n
y'={ln{(2n-1)/2n*e∧[1/(2n-1)]}}*(1-1/2n)∧n<0
当n→∞时y最小
y=lim(1-1/2n)∧n,n→∞
y的求法如下
ln[(1-1/2n)∧n]=ln(1-1/2n)/(1/2n)/2 令t=1/2n
由于n→∞时,ln[(1-1/2n)∧n]=ln(1-1/2n)/(1/2n)/2=1/(1-1/2n)*(-t')/t'/2=1/(1-1/2n)/-2=-1/2
所以y=e∧-1/2>2/1