高一数学

Question

如图，已知常数a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E.F,G分别在BC,CD,DA上移动，且BE/BC=CF/CD=DG/DA=T（0≤T≤1），
（1）若OF与GE相交与P点，试用向量AB、AD表示向量OP
（2）问GE与OF是否垂直？说明理由
谢谢大家帮忙

Answer 1

这是2003年的一道高考题的改编版本，不得不说这个改编版本很强悍
（1）既然你给了一个直角坐标系，我们就按这个直角坐标系解题吧
令O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系
（这个时候我们看到题目，题目要求表示向量OP，我们就把它先用坐标表示出来吧）
由题意得，O（0，0），A（-2,0），B（2,0），C（2,4a），D（-2,4a）
∵BE/BC=CF/CD=DG/DA=t（0≤t≤1）
∴BE=tBC=4at，AG=（1-t）AD=4a-4at，CF=tCD=4t
∴E（2,4at），F（2-4t，4a），G（-2,4a-4at）
又令P（x，y），则向量OP=（x，y），向量OF=（2-4t，4a），
∵向量OF、OP共线
∴4ax-（2-4t）y=0
∴y=2ax/(1-2t)（t≠1/2）……①或者t=1/2时，x=0
∵向量GP=（x+2，y-4a+4at），向量GE=（4,8at-4a），两个向量共线
∴4（y-4a+4at）-（x+2）（8at-4a）=0
∴2a-y=（1-2t）ax……②
（经过一大串冗长的移项和合并）得到
t≠1/2时，x=（2-4t）/（4t²-4t+3），y=4a/（4t²-4t+3）
t=1/2时，x=0，y=2a
∴P（（2-4t）/（4t²-4t+3），4a/（4t²-4t+3））（t≠1/2）或P（0,2a）
（但是事情还没结束，我们还要用向量AB、AD表示OP）
∵向量AB=（4,0），向量AD=（0,4a）
∴t≠1/2时，向量OP=（1-2t）/（8t²-8t+6）向量AB+1/（4t²-4t+3）向量AD
t=1/2时，向量OP=1/2向量AD
（强悍无比，无可超越，我还不太确定我前面联立①②两式求出来的x和y有没有错）

（2）下面问GE和OF是否垂直这问就是小case了
∵向量GE=（4，8at-4a），向量OF=（2-4t，4a），（第一问已经写出来过一遍了）
∴向量GE点乘向量OF=4(2-4t)+4a（8at-4a）=（16a²-8）（2t-1）
∴当且仅当t=1/2或者a=√2时，GE和OF垂直

这题从某种意义上来说比原来的高考题还强悍……

追问

如果不按坐标系来解呢？

追答

证明过程就不详细写了（都是向量，所以向量两个字也不写了）
OF=AF-AO=AD+DF-AO=AD+（1/2-t）AB，由共线OP=λOF（λ≠0）
GE=AE-AG=AB+BE-AG=（2t-1）AD+AB，由共线GP=μGE（μ≠0）
又OP=AP-AO=AG+GP-AO=（2μt-t-μ+1）AD+（μ-1/2）AB
=λOF=λAD+λ（1/2-t）AB
∴2μt-t-μ+1=λ，（μ-1/2）=λ（1/2-t）
解得λ和μ，代回原来OP的两个表达式中任意一个即可，仍然要对t=1/2和t≠1/2分类讨论
用坐标法的好处只是可以不用拐弯去想OP是那几个向量合成出来的，直接求P坐标即可，两个方法计算量其实差不多

第二问知GE·OF=[（2t-1）AD+AB]·[AD+（1/2-t）AB]=（2t-1）AD²+（1/2-t）AB²
（∵AD和AB垂直，∴AD·AB=0，千万不要去算AD·AB项的系数）
=（2t-1）×4²+（1/2-t）（4a）²（向量的平方等于向量模的平方）
=32t-16+8a²-16a²t=16（2t-1）-8a²（2t-1）=（16-8a²）（2t-1）
若GE、OF垂直，（16-8a²）（2t-1）=0
∵a>0 ∴a=√2或t=1/2
∴当且仅当t=1/2或者a=√2时，GE和OF垂直

其实可以看到几何方法也是依靠两个垂直的向量（AB、AD）和共线的原理，所以要用比较好想的坐标方法还是过程看起来比较精简（虽然那个μ和λ一样不好算）的几何法只关乎你第一眼想到的方法是什么。给一个坐标轴其实算是降低难度了。

Answer 2