北师大版高中数学必修5教案

Question

我很需要啊，请问那位好心人帮帮我啊

Answer 1

第一章　数　列
1.1　数列的概念
课时目标1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．

1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．
3．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．

一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为()
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N＋)，那么an＋1－an等于()
A. B.
C.＋ D.－

二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为_____．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．

三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…　(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…　(5)0,1,0,1，…

12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是____________________________．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N＋.

1.2　数列的函数特性

课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．

1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．
3．一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列．

一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()
A．递增数列 B．递减数列
C．常数项 D．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是()
A．1 B.
C. D.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于()
A. B.
C. D.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为()
A. B.
C. D.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30

二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N＋)，则当n≥2时，an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．

三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 010.

12．已知an＝ (n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．

能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，则通项公式an＝________.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．

函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n (n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1<an对任意的n(n∈N＋)都成立．

§1　数　列
1．1　数列的概念
答案

知识梳理
1．次序　2.有穷　无穷　3.通项
作业设计
1．B2.A
3．D[令n＝1,2,3,4代入验证即可．]
4．C[n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．]
5．C[令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.]
6．D[∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.]
7．4,7,10,15
8．10
解析　∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．an＝2n＋1
解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．55
解析　三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
11．解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N＋)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(5)an＝或an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋)．
12．(1)解　设f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解　令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明　∵an＝＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<<1，
∴0<an<1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解　令<an＝<，
则，
即.∴<n<.
又∵n∈N＋，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
13．an＝＋(－1)n＋1
解析　a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．解　图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.

1．2　数列的函数特性

知识梳理
2．正整数集N＋　函数值　3.第2项　an＋1>an
第2项　an＋1<an　都相等
作业设计
1．A2.B3.B
4．C[a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.]
5．C[计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3能整除，所以a2
010＝a3＝.]

6．C[∵an＝＝＋1
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图像上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图像，

由图像易知
当x∈(0，)时，函数单调递减．∴a9<a8<a7<…<a1<1，
当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.]
7．3·21－n
8．12
9.
解析　∵a1＝1，且＝(n∈N＋)．
∴··…·＝···…·，即an＝.
10．－3
解析　an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N＋⇔λ≥－3.
11．(1)证明　an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解　由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2010＝a3×670＝a3＝2，
∴a2010＝2.
12．解　因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
13．－
解析　∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…　　　…
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14.
解析　∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一　＝.
∴····…·＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二　(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.