曲面法向量方向余弦

Question

cosa=(-fx)/[(1+fx^2+fy^2)^(1/2)]
cosb=(-fy)/[(1+fx^2+fy^2)^(1/2)]
cosv=(1)/[(1+fx^2+fy^2)^(1/2)]

为什么有个负号 X轴 Y轴那

Answer 1

曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为 n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}

特别的,若曲面方程能表示成 F(x,y,z)=z-f(x,y)=0
那么法向量可以为 n = ±{ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1},+表示法向量向上,-表示法向量向下
单位化之后就是 n。= ±(1/|n|){ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1} , 其中|n|= [1+(∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²]^(1/2)

至于为什么有负号
∂F/∂x=∂[z-f(x,y)]/∂x=∂z/∂x-∂f(x,y)/∂x=-∂f/∂x
这里注意这里在求∂F/∂x时要将y,z都看成常数

Answer 2

有符号，因为规定的法向量的方向是 向上的 。即是它与z轴正向所成的角是锐角。