简单的线性规划问题

Question

一、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数为z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是多少？
二、若目标函数为z=x+ay仅在(5,1)处取得最大值，求a的取值范围？

Answer 1

解：（1）因为目标函数向左平移取最小值，向右平移取最大值，
所以要使目标函数为z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，
使之与直线AC重合即可。
使z=0，则可求得目标函数曲线的斜率k=-1/a，
即：-1/a=(2-1)/(4-1)=1/3，
所以a=-3；
（2）目标函数为z=x+ay仅在(5,1)处取得最大值，
则使得目标函数向右平移与三角形ABC的最后重合点只有点B，
这时k>0时，都满足题意，这时a<0，
k<0时，须使k的斜率小于直线BC的斜率，即，k=-1/a<(2-1)/(4-5)=-1，
可求得，0<a<1，
综上所述，a的取值范围是，a<0或0<a<1，即a<1，a≠ 0.