若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2011),f'(2011)=?

Question

f'(2011)=2010怎么求得的。

Answer 1

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2011)
由(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)得
f'(x)={[(x-1)(x-2)(x-3)……(x-2010)](x-2011)}'
=[(x-1)(x-2)(x-3)……(x-2010)]'(x-2011)+[(x-1)(x-2)(x-3)……(x-2010)]*(x-2011)'
将x=2011带入，显然第一项中的x-2011=0
所以f'(2011)=(2011-1)(2011-2)(2011-3)……(2011-2010)
=2010*2009*2008*……*1
=2010！
其中2010！表示2010的阶乘，也就是从1,2,3,已知乘到2010.结果并不是2010~

Answer 2

f(x)=g(x)(x-2011), g(x)=(x-1)..(x-2010)
f'(x)=g'(x)(x-2011)+g(x)
f'(2011)=g(2011)=2010*2009**..1=2010!

Answer 3

对f（x）求导就是分别对每一个括号求导，并且其他项不变，这是多项相乘的求导规则。观察一下式子，对（x-2011）这一项求导后该项变为1，带入2011后整个式子不为0（对其他任意项求导后都含（x-2011），结果都为0），所以结果为f'（2011）=（2011-1）（2011-2）...（2011-2010）=2010！

Answer 4

f(x)=(x-1)(x-2)...(x-2010)(x-2011)=g(x)(x-2011).
f'(x)=g'(x)(x-2011)+g(x)
f'(2011)=g'(2011)(2011-2011)+g(2011)=g(2011)
g(x)=(x-1)(x-2)...(x-2010),
g(2011)=2010*2009*...*2*1=1*2*...*2009*2010=2010!
f'(2011)=g(2011)=2010![2010的阶乘]

Answer 5

设g（x）=x-1)(x-2)(x-3)...(x-2010）
f(x)=g（x）(x-2011)=g（x）x-2011g（x）
f（x）‘=g（x）’x+g（x）-2011g（x）‘=g（x）’（x-2011）+g（x）
f'(2011)=g（x）=1*2*3*。。。2010
阶乘符号不会打