等度连续等度连续的定义

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等度连续是一个在函数序列上定义的数学概念，它涉及函数在某个区间内一致连续的性质。等度连续的定义可以分为两部分，分别阐述了等度连续的两种不同表述。

首先，定义一中提到，一个在区间I上定义的函数序列{fn(x)}被称作等度连续，当且仅当对任何给定的n值，该序列在区间I上的一致连续性都得到满足。这意味着在给定区间内，无论选择哪个函数fn(x)，其在任意点的连续性都是恒定的。

其次，定义二以更为严格的形式给出了等度连续的定义。它指出，如果存在一个连续函数序列{fn(x)}定义在区间I上，并满足以下条件，那么该序列在区间I上等度连续：对于任意给定的正整数n和正实数ε，总能找到一个正实数δ（只依赖于ε，而不依赖于x和n），使得在区间内的任意两点x1和x2，当它们之间的距离小于δ时，对应的函数值fn(x1)与fn(x2)的绝对差值小于ε。这个定义强调了函数值变化的可控性，即在一定距离内，函数值的变化可以被任意小的ε值所限制。

综上所述，等度连续性是函数序列在区间上一致连续的性质，它通过不同的表述方式体现了函数在特定区间内连续性的一致性。这一概念在数学分析中具有重要地位，特别是在研究函数序列的极限性质、收敛性以及在各种数学模型中的应用时，显得尤为关键。