线性方程组如何求解

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1、解线性方程组的方法大致可以分为两类：直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法；迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。
2、消去法：
Gauss（高斯）消去法——是最基本的和最简单的直接方法，它由消元过程和回代过程构成，基本思想是：将方程组逐列逐行消去变量，转化为等价的上三角形方程组（消元过程）；然后按照方程组的相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解（回代过程）。优缺点：简单易行，但是要求主元均不为0，适用范围小，数值稳定性差。
列主元素消去法——基本思想是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值大的系数作为主元，通过方程对换将其换到主对角线上，然后进行消元。优点：计算简单，工作量大为减少，数值稳定性良好，是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。
全主元素消去法——基本思想是在全体待选系数a(ij)（k）中选取主元，并通过行与列的互换把它换到a(kk)（k）的位置，进行消元。优缺点：这种方法的精度优于列主元素法，它对控制舍入误差十分有效，但是需要同时作行列变换，因而程序比较复杂，计算时间较长。
3、直接三角分解法：消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角形矩阵与上三角形矩阵乘积的过程，其中L为单位下三角形矩阵，U为上三角形矩阵。这种分解过程称为杜利特尔（Doolittle分解)，也称为LU分解。当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组Ax = b的问题就等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y。
矩阵的直接三角分解——设A为n阶方阵，若A的顺序主子式A(i)均不为0，则矩阵A存在唯一的LU分解；
直接三角分解法——如果线性方程组Ax = b的系数矩阵已进行三角分解A=LU,则解方程组Ax=b等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y；
列主元素的三角分解法——设矩阵A非奇异，则存在置换矩阵P，使得PA有唯一的LU分解（即PA=LU），且|l(ij)|≤1；4排列阵：单位矩阵经过若干次行变换所得到的矩阵。
5、克劳特（Crout）分解：将矩阵A分解成一个下三角形矩阵L与一个单位上三角形矩阵U的乘积。
6、特殊矩阵的三角分解法：在工程实际计算中，如三次样条插值或用差分法求解常微分方程边值问题，导出的线性方程组的系数矩阵A常常是稀疏的三对角形矩阵或A是对称正定阵，使得A的三角分解也具有更简洁的形式。
解三对角方程组的追赶法——三对角矩阵为非零元素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角线上的矩阵。
设图中的系数矩阵A满足下列条件
则A可唯一分解为
平方根法（Cholesky分解法）——设A是正定矩阵，则存在唯一的非奇异下三角形矩阵L，使得A=LLT ，且L的对角元素皆为正数。当矩阵A完成Cholesky分解后，求解方程组Ax=b就转化为依次求解方程组Ly = b，LTx = y。优缺点：无需选择主元，计算过程也是稳定的，数量级约是Gauss消去法的一半，在求L时需做n次开方运算，故而增加了计算量。
改进平方根法（LDLT法）——对称正定矩阵A又可以作如下分解，A=LDLT ，其中L为单位下三角形矩阵，D为对角阵，记为
平方根法与改进平方根法不仅计算量仅是Gauss消去法的一半，其数值稳定性也十分良好，是求解中小型稠密对称正定线性方程组的好方法。
4.分块三角分解法——在求解微分方程数值解时，如果用差分法或有限元法离散微分方程，导出线性方程组往往是稀疏的，而且具有分块结构，这些稀疏性和分块性对于提高求解方程组的效率很有帮助。