1！+2！+3！+…+n！=？自然数乘阶的和怎么求？

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揭示自然数乘阶和的神秘公式

探索数列世界中的奇妙现象，我们聚焦于一个看似简单的加法运算：1! + 2! + 3! + ... + n!。这个序列的和并非表面看起来那样直接，而是蕴含着深奥的数学原理——阶乘的特性与伽马函数的巧妙结合。

首先，让我们引入伽马函数，它是阶乘的连续版本，对于非负实数x，伽马函数Γ(x)定义为(x-1)!。利用这个工具，我们可以将阶乘部分和重新表达为：

由于级数每一项都是前一项的阶乘倍，级数可以被视为一个等比数列。

利用等比数列的求和公式，我们得到：

级数和S(n) = 1! + 2! + 3! + ... + n! 等于 Γ(n+1)。

进一步，我们可以定义完全伽马函数，它在实数域内的积分形式为我们揭开更多奥秘：

完全伽马函数 Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt

通过积分技巧，特别是分部积分法，我们来计算这个积分的特殊情形：

对 Γ(z) 进行 z 次分部积分，我们可以揭示其中的结构，即

当 z = n + 1 时，这个公式为我们揭示了阶乘和的简洁表达：

所以，S(n) = Γ(n+1) = ∫₀^∞ t^n e^(-t) dt。

不仅如此，我们可以引入子阶乘函数，它将阶乘和以更为直观的形式呈现出来：

通过子阶乘函数，我们得以将S(n)转换为一个易于理解的表达式。

总结来说，自然数乘阶和的计算并非单纯累加，而是数学逻辑与函数技巧的交响乐。每一个数列项背后，都隐藏着伽马函数的魔力，将阶乘和编织成一个美丽的数学公式。这就是1! + 2! + 3! + ... + n! 的故事，一个关于数与函数和谐共舞的美妙篇章。