g'(u)=2f(u)∫(0~u)f(x)dx-f(u)^3=f(u)[2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2]
由于f '(u)>=0，则f(u)单增，f(0)=0，则f(u)>=0
下面将中括号里的部分设为一个新的函数h(u)=2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2
h'(u)=2f(u)-2f(u)f '(u)，由于f(u)>=0，0<=f '(u)<=1，则h'(u)>0
因此h(u)为单增函数，由h(0)=0知，h(u)>=0
因此g'(u)=f(u)h(u)>=0，则g(u)单增
g(1)>=g(0)=0
则( ∫(0~1)f(x)dx)^2- ∫(0~1)f(x)^3dx>=0
即原式成立
...0≤f'(x)≤1证明( ∫(0~1)f(x)dx)^2≥ ∫(0~1)f(x)^3dx
因此g'(u)=f(u)h(u)>=0，则g(u)单增 g(1)>=g(0)=0 则( ∫(0~1)f(x)dx)^2- ∫(0~1)f(x)^3dx>=0 即原式成立
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点...
设g(x)=xf(x)，则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。所以g(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导且g(0)=g(1)，由罗尔中值定理得：存在一点ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))\/(1-0)=0.所以f'(ε)=-f(ε)\/...
已知f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1
由于0≤f'(x)≤1，所以过(y，f(y))作斜率为1的直线，左边的部分在f(x)下方或重合，又有y≧f(y)≧0 可以得出∫^(y,0)f(x)dx≧f(y)×f(y)\/2（三角形面积公式），带入h’(y)可得h'(y)≧0，说明h(y)是单增函数，所以h(y)≧0，把y=1带入即证明不等式成立。
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:
解：（I）设函数g(x)=f(x)+x，则g(0)=f(0)+0=0，g(1)=f(1)+1=2。根据介值定理，（定理大意：如果函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a)=M>f(b)=m，则存在c∈(a,b)使得f(c)∈(m,M)。）则在（0,1）存在g(ζ)=f(ζ)+1=2，所以，f(ζ)=1-ζ。（II）由（I）存在...
...上连续,在(0,1)内可导,且∫_0^1▒〖f(x)dx〗=0.
由于∫[0→1] f(x) dx = 0，由积分中值定理，存在x1∈(0,1)，使f(x1)=0 设g(x)=x²f(x)，显然g(x)在[0,1]连续，在(0,1)内可导 且g(0)=0，g(x1)=x1²f(x1)=0 因此在[0，x1]内对g(x)用罗尔定理得：存在ξ∈(0，x1)，使得：g'(ξ)=0 即：2ξf(...
...f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(0)=f(1)=0.证明:至少
构造F（x）=f（x）\/e^(kx)对F（x）在 [0，1]上用罗尔定理即可。
设f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f...
是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。罗尔定理描述如下： 如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
设f(x)在[0,1].上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=f(0)=0,证明:在(0,1?
构造函数F(x)=e^x*f(x)显然，F(0)=F(1)=0 而又因为 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，则 F(x)必定在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，则必定存在ξ∈(0,1)使得 F'(ξ)=0 即：e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0 即：f(ξ)+f'(ξ)=0 ...
证明题:设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1]使...
令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续。故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ。下面用反证法证明 ξ 只有一个。假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0。由罗尔中值定理，必...
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0
令F(x)=f(x)e^x F'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]F(0)=f(0)e^0=0 F(1)=f(1)e^1=0 F(0)=F(1)=0 根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)使 F'(ξ)=0 e^ξ[f'(ξ)+f(ξ)]=0 f'(ξ)+f(ξ)=0
