求高人做高数题

Question

填空
设Y=e^tan2x，则dy=?
设y=e^cos2x，则dy=?
设y=e^x^2,则dy=？
已知曲线y=F（X）上任意一点（x,y）处的切线斜率为2x+1，并且过点（0，1）则该曲线方程为？
已知曲线y=F（X）上任意一点（x,y）处的切线斜率为x^2，并且过点（0，1）则该曲线方程为？
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计算题。
y=x^sinx，其中（x>0）求导数
求由方程y-xe^y=1确定的函数y=F(x)的微分dy
设y=y(x)是由方程y=1+xe^y所确定的函数，求dy/dx
求∫xln(x+1)dx

Answer 1

填空：
1.设Y=e^tan(2x)，则dy=2e^tan(2x)*sec²(2x)dx；
2.设y=e^cos(2x)，则dy=-2e^cos(2x)*sin(2x)dx；
3.设y=e^(x²)，则dy=2xe^(x²)dx；
4.已知曲线y=F(X)上任意一点(x,y)处的切线斜率为2x+1，并且过点(0,1)则该曲线方程为y=x²+x+1；
5.已知曲线y=F(X)上任意一点(x,y)处的切线斜率为x^2，并且过点(0,1)则该曲线方程为y=x³/3+1；
计算题：
1.y=x^(sinx)，其中（x>0）求导数
解：y'=(e^(sinx*lnx))'=x^(sinx)*(cosx*lnx+sinx/x)；
2.求由方程y-xe^y=1确定的函数y=F(x)的微分dy
解：∵y-xe^y=1 ==>dy-e^ydx-xe^ydy=0
==>(1-xe^y)dy=e^ydx
==>dy=e^ydx/(1-xe^y)
∴微分dy=e^ydx/(1-xe^y)；
3.设y=y(x)是由方程y=1+xe^y所确定的函数，求dy/dx
解：∵y=1+xe^y ==>y'=e^y+xe^y*y'
==>(1-xe^y)y'=e^y
==>y'=e^y/(1-xe^y)
∴dy/dx=y'=e^y/(1-xe^y)；
4.求∫xln(x+1)dx
解：原式=(1/2)∫ln(x+1)d(x²)
=x²ln(x+1)/2-(1/2)∫x²dx/(x+1) (应用分部积分法)
=x²ln(x+1)/2-(1/2)∫[x-1+1/(x+1)]dx
=x²ln(x+1)/2-[x²/2-x+ln(x+1)]/2+C (C是积分常数)
=[x²ln(x+1)-x²/2+x-ln(x+1)]/2+C
=[(x²-1)ln(x+1)-x²/2+x]/2+C

Answer 2

2e^tan2x*(1/(1+4x^2))
-2sin2x*e^cos2x
2x*e^x^2

对2x+1求积分，得曲线方程为x^2+x+C,又曲线经过（0,1）代入曲线方程得C=1，
所以曲线方程为：x^2+x+1

同上，对x^2求积分，得x^3/3+C,将（0,1）代入，得C=1，
因此曲线方程为x^3/3+1

x^sinx*（cosxlnx+sinx/x)

隐函数求导，两边对x求导
y'-e^y-x*e^y*y'=0，解出y'

最后一题分部积分，∫xln(x+1)dx=x^2/2*ln(x+1)-1/2∫x^2/(x+1)dx
后面那个自己配掉，x^2减去1再加1，再约分，自己算吧，这里打太麻烦了

Answer 3

dy=(1/(1+4X2))e^tan2xdx