一道数学题 高手来 详细步骤！

Question

过曲线y=a/x(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是

Answer 1

2a的绝对值。
根据对称性不妨设a大于0.设A点在此双曲线上，且切线为y=kx+b。则y=kx+b=a/x只有唯一解，所以△=b^2+4kx=0推出.(-b^2/k)=4a。而所求面积S=1/2(-b^2/k)=2a。a小于0时面积等价于a大于0时的情况，取绝对值即可。

Answer 2

设切线方程为y/b+x/c=1, b,c为两坐标轴截距,则三角形面积=bc/2
所以,两线交点(x0,y0)满足方程组:
(1)x0y0=a
(2)y0/b+x0/c=1
代入,则有:bx0**2-bcx0+ac=0,
因为有唯一解,△=(bc)**2-4abc=bc*(bc-4a)=0,
但显然，bc≠0，则bc=4a,
三角形面积=bc/2 = 2a

追问

不好意思，往说用导数方法做了，会么

追答

xy=a,导数得切线方程斜率K=-a/x0**2
切线方程; y=-a/x0**2 * (x-c), c为x-轴截距, 所以,三角形面积S= ac**2/(2x0**2)
此切线方程联合x0y0=a,则得到c=2x0
所以:S=2|a|

Answer 3

切线方程; y=-a/x0**2 * (x-c), c为x-轴截距, 所以,三角形面积S= ac**2/(2x0**2)
此切线方程联合x0y0=a,则得到c=2x0
所以:S=2|a|

Answer 4

取切线上任意点为（x*，y*） 则切线方程为y-y*=k（x-x*） 其中k=y导=-（a/x2）
那么切线方程为y=-（ax*、x*2）+a/x*+y*
当y=0时，x=(y*x*2+ax*)/a 当x=0时 y=（x*y*+a)/x
面积S=1/2x|x*y*|=1/2|x*2y*2+2ax*y*+a2|/a
其中x*y*=x*（a/x*）=a 所以S=2|a|

Answer 5

a的绝对值的一半