一道数学题 高手来

Question

已知双曲线mx^2-y^2=1(m>0) 的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B,C使得三角形ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围（）A(1,根号2） B （1，根号3） c （1,2) D (1,3)
有没有简单的方法或者带特值。

Answer 1

由于双曲线右支上存在两点B,C使得三角形ABC为等腰直角三角形，可以取特殊的，如图。

由于过A，且与渐近线平行的直线与双曲线都只有一个交点，所以浙近线的斜率k<tan45=1

而k=b/a<1， 所以b<a

而b^2=c^2-a^2<a^2

从而c^2<2a^2

因此离心率是e=c/a<sqrt(2).

具体见图片。

Answer 2

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAX=45°设其中一条渐近线与X轴夹角为θ，则θ＜45°
即tanθ＜1
即√m＜1
即0＜m＜1
又∵e2=1+b^2/a^2=1+m
∴1＜e^2＜2
即1＜e＜√2

追问

∴∠BAX=45°为什么？

Answer 3

∵△ABC为等腰直角三角形，
即tanθ＜1
即√m＜1
即0＜m＜1
又∵e2=1+b^2/a^2=1+m
∴1＜e^2＜2
即1＜e＜√2 为渐进线 ∵△ABC为等腰直角三角形