数学分析中由函数极限定义能推相似的δ-ε定义

Question

不好意思，我是想问函数极限定义定义是否和以下结论是等价的，即1.对任给的正数δ，存在正数ε，使当0<︳x-x0︳＜δ时有到︳f(x)-A︳＜ε。.2..对任给的正数ε，存在正数δ，使得.︳f(x)-A︳＜ε时有0<︳x-x0︳＜δ成立。

Answer 1

和两个都不等价。
比如狄利克莱函数。f（x）=1 当x是有理数
-1 当x是无理数
对于1来说，在0为中心的邻域内，无论邻域多么小，你让e=100，A=1，结论总是成立的，但是明显该函数在0处是没有极限的。
对于2来说，考虑函数f（x）=1 1>x>=0
=-1 -1<x<0
同样是在0处，f（0）=1，令A=1，存在δ=2，满足条件和结论。但是在0处还是没有极限。

所以说这两个都是和极限定义不等价的。

从理论上说，第一个的意思是对于x0为中心的无穷小的邻域内，有-e+A<f（x）<A+e。（e可以取很大）明显不能得出f（x）有极限啊。
第二个意思是对于f（x）无穷接近于A的时候，能得出x在x0为中心的某个邻域内（这样的话x可能在x0为中心的很大的邻域内，怎么能说明在x0处有极限呢？）
正确的应该是当x在x0为中心的某个邻域内时（无论邻域多大，或者多小），都有f（x）无限接近A。换言之，只要x在x0为中心的邻域的时候，f（x）都无限接近A，这才说明x在x0出极限是A

Answer 2

题目没看懂.关于度量空间中的收敛你可以去参考下H嘉当给出的虑子基的概念.